Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 985

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 985

Пусть φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) — дифференцируемые функции.
Найти производную функции yy, если:а) y=φ2(x)+ψ2(x);б) y=arctg⁡φ(x)ψ(x)\text{а) }y=\sqrt{\varphi^2(x)+\psi^2(x)};
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{arctg}\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}в) y=φ(x)ψ(x)(φ(x)≠0; ψ(x)>0)\text{в) }y=\varphi(x)\sqrt{\psi(x)}
\qquad(\varphi(x)\ne0;\ \psi(x)>0)г) y=log⁡φ(x)ψ(x)(φ(x)>0; ψ(x)>0)\text{г) }y=\log_{\varphi(x)}\psi(x)
\qquad(\varphi(x)>0;\ \psi(x)>0)В исходном условии это отдельно не указано, но по определению
логарифма необходимо также требовать φ(x)≠1\varphi(x)\ne1.
Ответ:При φ2(x)+ψ2(x)>0\varphi^2(x)+\psi^2(x)>0y′=φ(x)φ′(x)+ψ(x)ψ′(x)φ2(x)+ψ2(x)y'=\frac{\varphi(x)\varphi'(x)+\psi(x)\psi'(x)}
{\sqrt{\varphi^2(x)+\psi^2(x)}}В точке x0x_0, где φ(x0)=ψ(x0)=0\varphi(x_0)=\psi(x_0)=0, производная
существует и равна нулю тогда и только тогда, когда
φ′(x0)=ψ′(x0)=0\varphi'(x_0)=\psi'(x_0)=0.y′=φ′(x)ψ(x)−φ(x)ψ′(x)φ2(x)+ψ2(x),ψ(x)≠0y'=\frac{\varphi'(x)\psi(x)-\varphi(x)\psi'(x)}
{\varphi^2(x)+\psi^2(x)},
\qquad \psi(x)\ne0y′=φ′(x)ψ(x)+φ(x)ψ′(x)2ψ(x)y'=\varphi'(x)\sqrt{\psi(x)}
+\frac{\varphi(x)\psi'(x)}{2\sqrt{\psi(x)}}y′=ψ′(x)ψ(x)ln⁡φ(x)−φ′(x)φ(x)ln⁡ψ(x)ln⁡2φ(x)y'=
\frac{
\dfrac{\psi'(x)}{\psi(x)}\ln\varphi(x)
-\dfrac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\ln\psi(x)
}{\ln^2\varphi(x)}где φ(x)>0\varphi(x)>0, φ(x)≠1\varphi(x)\ne1, ψ(x)>0\psi(x)>0.

Решение

Идея

Для краткости в промежуточных вычислениях будем писать
φ=φ(x)\varphi=\varphi(x), ψ=ψ(x)\psi=\psi(x).
  1. 1

    Пункт а)

    Если φ2+ψ2>0\varphi^2+\psi^2>0, применяем правило
    дифференцирования сложной функции:y′=φφ′+ψψ′φ2+ψ2y'=\frac{\varphi\varphi'+\psi\psi'}
    {\sqrt{\varphi^2+\psi^2}}    Если в некоторой точке x0x_0 одновременно
    φ(x0)=ψ(x0)=0\varphi(x_0)=\psi(x_0)=0, эта формула неприменима. Из
    дифференцируемости функций следуетφ(x0+h)=φ′(x0)h+o(h),ψ(x0+h)=ψ′(x0)h+o(h)\varphi(x_0+h)=\varphi'(x_0)h+o(h),
    \qquad
    \psi(x_0+h)=\psi'(x_0)h+o(h)    Обозначимv=(φ′(x0),ψ′(x0))v=\bigl(\varphi'(x_0),\psi'(x_0)\bigr)Тогдаy(x0+h)=(φ′(x0)h+o(h))2+(ψ′(x0)h+o(h))2==∣h∣ ∥v∥+o(∣h∣)\begin{aligned}
    y(x_0+h)
    &=\sqrt{\bigl(\varphi'(x_0)h+o(h)\bigr)^2
    +\bigl(\psi'(x_0)h+o(h)\bigr)^2}=\\
    &=|h|\,\lVert v\rVert+o(|h|)
    \end{aligned}    Если v≠(0,0)v\ne(0,0), односторонние разностные отношения имеют разные
    пределы, поэтому производной нет. Если v=(0,0)v=(0,0), то
    y(x0+h)=o(∣h∣)y(x_0+h)=o(|h|) и y′(x0)=0y'(x_0)=0.
  2. 2

    Пункт б)

    Здесь требуется ψ(x)≠0\psi(x)\ne0. Полагая
    u=φψu=\dfrac{\varphi}{\psi}, получаемu′=φ′ψ−φψ′ψ2u'=\frac{\varphi'\psi-\varphi\psi'}{\psi^2}Следовательно,y′=u′1+u2=φ′ψ−φψ′φ2+ψ2y'=\frac{u'}{1+u^2}
    =\frac{\varphi'\psi-\varphi\psi'}
    {\varphi^2+\psi^2}
  3. 3

    Пункт в)

    Применяем правила произведения и сложной функции:y′=φ′(x)ψ(x)+φ(x)ψ′(x)2ψ(x)y'=\varphi'(x)\sqrt{\psi(x)}
    +\frac{\varphi(x)\psi'(x)}{2\sqrt{\psi(x)}}
  4. 4

    Пункт г)

    Для логарифма с переменным основанием необходимо также
    условие φ(x)≠1\varphi(x)\ne1. Переходим к натуральным логарифмам:y=ln⁡ψ(x)ln⁡φ(x)y=\frac{\ln\psi(x)}{\ln\varphi(x)}По правилу производной частногоy′=ψ′(x)ψ(x)ln⁡φ(x)−ln⁡ψ(x)φ′(x)φ(x)ln⁡2φ(x)y'=
    \frac{
    \dfrac{\psi'(x)}{\psi(x)}\ln\varphi(x)
    -\ln\psi(x)\dfrac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}
    }{\ln^2\varphi(x)}
Демидович № 985 — решение и ответ