Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 981

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

y=\begin{cases}x, & x<0\\\ln(1+x), & x\geqslant0\end{cases}

Построение

y'=\begin{cases}1, & x\leqslant0\\\dfrac1{1+x}, & x>0\end{cases}

Построение

При

x<0

имеем

y'=1

, а при

x>0

y'=\frac1{1+x}

Остаётся проверить точку склейки. Функция непрерывна в нуле, поскольку
обе формулы дают значение

0

. Слева

\lim_{h\to0^-}\frac{y(h)-y(0)}h=1

а справа

\lim_{h\to0^+}\frac{y(h)-y(0)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{\ln(1+h)}h=1

Следовательно,

y'(0)=1

, и производная существует на всей числовой
прямой:

y'=\begin{cases}1, & x\leqslant0\\\dfrac1{1+x}, & x>0\end{cases}

Слева от нуля графиком функции является прямая

y=x

, а справа --- логарифмическая кривая

y=\ln(1+x)

. Они имеют
в начале координат общую касательную

y=x

. График производной слева
постоянен и равен

1

, а справа убывает от

1

к нулю.

$график к задаче Демидовича № 981$ $график к задаче Демидовича № 981$

y'=\begin{cases}1, & x\leqslant0\\\dfrac1{1+x}, & x>0\end{cases}