Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 981

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 981

y={x,x<0ln⁡(1+x),x⩾0y=
\begin{cases}
x, & x<0\\
\ln(1+x), & x\geqslant0
\end{cases}
Построениеy′={1,x⩽011+x,x>0y'=
\begin{cases}
1, & x\leqslant0\\
\dfrac1{1+x}, & x>0
\end{cases}

Построение

Идея

При x<0x<0 имеем y′=1y'=1, а при x>0x>0y′=11+xy'=\frac1{1+x}Остаётся проверить точку склейки. Функция непрерывна в нуле, поскольку
обе формулы дают значение 00. Слеваlim⁡h→0−y(h)−y(0)h=1\lim_{h\to0^-}\frac{y(h)-y(0)}h=1а справаlim⁡h→0+y(h)−y(0)h=lim⁡h→0+ln⁡(1+h)h=1\lim_{h\to0^+}\frac{y(h)-y(0)}h
=\lim_{h\to0^+}\frac{\ln(1+h)}h=1Следовательно, y′(0)=1y'(0)=1, и производная существует на всей числовой
прямой:
  1. 1
    y′={1,x⩽011+x,x>0y'=
    \begin{cases}
    1, & x\leqslant0\\
    \dfrac1{1+x}, & x>0
    \end{cases}
  2. 2

    Построение графика

    Слева от нуля графиком функции является прямая
    y=xy=x, а справа — логарифмическая кривая y=ln⁡(1+x)y=\ln(1+x). Они имеют
    в начале координат общую касательную y=xy=x. График производной слева
    постоянен и равен 11, а справа убывает от 11 к нулю.график к задаче Демидовича № 981график к задаче Демидовича № 981

Проверка

y′={1,x⩽011+x,x>0y'=
\begin{cases}
1, & x\leqslant0\\
\dfrac1{1+x}, & x>0
\end{cases}