Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1020

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Если функция

f(x)

дифференцируема в ограниченном интервале

(a,b)

\lim_{x\to a}f'(x)=\infty

то обязательно ли

\lim_{x\to a}f(x)=\infty?

Рассмотреть пример:

f(x)=\sqrt[3]{x}, \qquad\text{при }x\to0

Ответ:Нет. Для

f(x)=\sqrt[3]{x}

при

x\to0^+

имеем

f'(x)\longrightarrow+\infty

, но

f(x)\longrightarrow0

Решение

Идея

Рассмотрим функцию на интервале

(0,b)

. При

x>0

f'(x)=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}\longrightarrow+\infty, \qquad f(x)=\sqrt[3]{x}\longrightarrow0, \qquad (x\to0^+)

Проверка

Таким образом, бесконечный предел производной не влечёт бесконечного
предела самой функции.