Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 971

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac ba x+\frac{2\sqrt{a^2-b^2}}a\operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\operatorname{th}\frac x2\right),\qquad 0\leqslant|b|<a

Ответ:

y'=\frac{a+b\operatorname{ch}x}{a\operatorname{ch}x+b},\qquad 0\leqslant|b|<a,\quad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Из условия следует

a>0

, а выражения под корнем положительны.
Положим

q=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}},\qquadt=\operatorname{th}\frac x2

Тогда

t'=\frac12(1-t^2)

\begin{aligned}y'&=\frac ba+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\,\frac{q(1-t^2)}{1+q^2t^2}=\\&=\frac ba+\frac{a-b}{a}\,\frac{1-t^2}{1+\dfrac{a-b}{a+b}t^2}\end{aligned}

Приведение к общему знаменателю даёт

y'=\frac{(a+b)-(a-b)t^2}{(a+b)+(a-b)t^2}

Поскольку

\operatorname{ch}x=\frac{1+t^2}{1-t^2}

последнюю дробь можно записать без вспомогательной переменной:

y'=\frac{a+b\operatorname{ch}x}{a\operatorname{ch}x+b}

Знаменатель положителен, так как

a\operatorname{ch}x+b\geqslant a-|b|>0