Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 976

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции, вводя подходящую промежуточную переменную, как в №972:

y=\frac{a^x}{1+a^{2x}}-\frac{1-a^{2x}}{1+a^{2x}}\operatorname{arcctg}a^{-x},\qquad a>0

Ответ:

y'=\frac{4a^{2x}\ln a}{(1+a^{2x})^2}\operatorname{arcctg}a^{-x},\qquad a>0,\quad x\in\mathbb R

Решение

По условию

a>0

. Положим

u=a^x,\qquadu'=u\ln a

При принятом диапазоне

\operatorname{arcctg}\colon\mathbb R\to(0,\pi)

u>0

имеем

\operatorname{arcctg}\dfrac1u=\operatorname{arctg}u

.
Поэтому исходную функцию можно рассматривать как

F(u)=\frac{u}{1+u^2}-\frac{1-u^2}{1+u^2}\operatorname{arctg}u

Дифференцирование даёт

\begin{aligned}F'(u)=\frac{1-u^2}{(1+u^2)^2}&+\frac{4u}{(1+u^2)^2}\operatorname{arctg}u-\frac{1-u^2}{(1+u^2)^2}=\\&=\frac{4u\operatorname{arctg}u}{(1+u^2)^2}\end{aligned}

Поскольку

y'=F'(u)u'

, после возвращения к

u=a^x

заменяем

\operatorname{arctg}(a^x)

исходным выражением

\operatorname{arcctg}(a^{-x})