Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1011

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1011

ПустьF(x)={f(x),x⩽x0,ax+b,x>x0F(x)=
\begin{cases}
f(x),&x\leqslant x_0,\\
ax+b,&x>x_0
\end{cases}где функция f(x)f(x) дифференцируема слева при x=x0x=x_0.

При каком выборе коэффициентов aa и bb функция F(x)F(x) будет
непрерывной и дифференцируемой в точке x0x_0?
Ответ:a=f−′(x0)b=f(x0)−x0f−′(x0)a=f'_-(x_0)
\qquad
b=f(x_0)-x_0f'_-(x_0)

Решение

Идея

Существование конечной левой производной функции ff в точке x0x_0
влечёт её непрерывность слева в этой точке. Поэтому для непрерывности
функции FF достаточно и необходимо потребовать
ax0+b=f(x0)ax_0+b=f(x_0)Левая производная функции FF равна f−′(x0)f'_-(x_0), а правая
производная линейной части равна aa. Условие их совпадения даётa=f−′(x0)a=f'_-(x_0)Из условия непрерывности тогда следуетb=f(x0)−x0f−′(x0)b=f(x_0)-x_0f'_-(x_0)
Демидович № 1011 — решение и ответ