Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 983

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 983

y={x2e−x2,∣x∣⩽11e,∣x∣>1y=
\begin{cases}
x^2e^{-x^2}, & |x|\leqslant1\\[1mm]
\dfrac1e, & |x|>1
\end{cases}
Построениеy′={2xe−x2(1−x2),∣x∣<10,∣x∣⩾1y'=
\begin{cases}
2xe^{-x^2}(1-x^2), & |x|<1\\[1mm]
0, & |x|\geqslant1
\end{cases}

Построение

Внутри промежутка (−1,1)(-1,1) применяем правило произведения и правило
дифференцирования сложной функции:y′=\displaystyle y'\mathrel{=}2xe−x2+x2e−x2(−2x)=\displaystyle 2xe^{-x^2}+x^2e^{-x^2}(-2x)\mathrel{=}2xe−x2(1−x2)\displaystyle 2xe^{-x^2}(1-x^2)При ∣x∣>1|x|>1 функция постоянна, поэтому y′=0y'=0.
В точках x=±1x=\pm1 обе соседние формулы для функции дают 1e\frac1e.
Односторонняя производная со стороны внутренней ветви равна производной
гладкой функции x2e−x2x^2e^{-x^2} в точках x=±1x=\pm1, то есть нулю:2xe−x2(1−x2)=0при x=±12xe^{-x^2}(1-x^2)=0
\quad\text{при }x=\pm1С внешней стороны разностное отношение равно нулю. Значит, функция
дифференцируема и при x=±1x=\pm1, причём y′(±1)=0y'(\pm1)=0. Получаемy′={2xe−x2(1−x2),∣x∣<10,∣x∣⩾1y'=
\begin{cases}
2xe^{-x^2}(1-x^2), & |x|<1\\[1mm]
0, & |x|\geqslant1
\end{cases}

Построение графика

Функция чётная. Проверим направление изменения внутренней ветви без признака монотонности по производной. Для 0<u<v⩽10<u<v\leqslant1 неравенство ln⁡z>1−1/z\ln z>1-1/z при z>1z>1 даётln⁡ve−vue−u=ln⁡vu−(v−u)>v−uv−(v−u)⩾0.\ln\frac{ve^{-v}}{ue^{-u}}
=\ln\frac vu-(v-u)
>\frac{v-u}{v}-(v-u)\geqslant0.Значит, ve−v>ue−uve^{-v}>ue^{-u}. Подставляя u=x2u=x^2, получаем возрастание x2e−x2x^2e^{-x^2} на [0,1][0,1]; в нуле значение равно нулю. Чётность даёт убывание на [−1,0][-1,0]. Вне [−1,1][-1,1] график состоит из
двух горизонтальных лучей, лежащих на прямой y=1ey=\frac1e; внутри
отрезка кривая убывает от
1e\frac1e до 00 на [−1,0][-1,0] и возрастает обратно до 1e\frac1e
на [0,1][0,1]. В точках x=±1x=\pm1 соединение гладкое. Производная
нечётна, отрицательна на (−1,0)(-1,0), положительна на (0,1)(0,1) и равна
нулю при ∣x∣⩾1|x|\geqslant1.
график к задаче Демидовича № 983график к задаче Демидовича № 983

Ответ

y′={2xe−x2(1−x2),∣x∣<10,∣x∣⩾1y'=
\begin{cases}
2xe^{-x^2}(1-x^2), & |x|<1\\[1mm]
0, & |x|\geqslant1
\end{cases}
Демидович № 983 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика