Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 983

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 983

y={x2e−x2,∣x∣⩽11e,∣x∣>1y=
\begin{cases}
x^2e^{-x^2}, & |x|\leqslant1\\[1mm]
\dfrac1e, & |x|>1
\end{cases}
Построениеy′={2xe−x2(1−x2),∣x∣<10,∣x∣⩾1y'=
\begin{cases}
2xe^{-x^2}(1-x^2), & |x|<1\\[1mm]
0, & |x|\geqslant1
\end{cases}

Построение

Идея

Внутри промежутка (−1,1)(-1,1) применяем правило произведения и правило
дифференцирования сложной функции:y′=y'\mathrel{=}2xe−x2+x2e−x2(−2x)=2xe^{-x^2}+x^2e^{-x^2}(-2x)\mathrel{=}2xe−x2(1−x2)2xe^{-x^2}(1-x^2)При ∣x∣>1|x|>1 функция постоянна, поэтому y′=0y'=0.
  1. 1
    В точках x=±1x=\pm1 обе соседние формулы для функции дают 1e\frac1e.
    Односторонняя производная со стороны внутренней ветви равна производной
    гладкой функции x2e−x2x^2e^{-x^2} в точках x=±1x=\pm1, то есть нулю:2xe−x2(1−x2)=0при x=±12xe^{-x^2}(1-x^2)=0
    \quad\text{при }x=\pm1    С внешней стороны разностное отношение равно нулю. Значит, функция
    дифференцируема и при x=±1x=\pm1, причём y′(±1)=0y'(\pm1)=0. Получаемy′={2xe−x2(1−x2),∣x∣<10,∣x∣⩾1y'=
    \begin{cases}
    2xe^{-x^2}(1-x^2), & |x|<1\\[1mm]
    0, & |x|\geqslant1
    \end{cases}
  2. 2

    Построение графика

    Функция чётная. Вне [−1,1][-1,1] график состоит из
    двух горизонтальных лучей, лежащих на прямой y=1ey=\frac1e; внутри
    отрезка кривая убывает от
    1e\frac1e до 00 на [−1,0][-1,0] и возрастает обратно до 1e\frac1e
    на [0,1][0,1]. В точках x=±1x=\pm1 соединение гладкое. Производная
    нечётна, отрицательна на (−1,0)(-1,0), положительна на (0,1)(0,1) и равна
    нулю при ∣x∣⩾1|x|\geqslant1.график к задаче Демидовича № 983график к задаче Демидовича № 983

Проверка

y′={2xe−x2(1−x2),∣x∣<10,∣x∣⩾1y'=
\begin{cases}
2xe^{-x^2}(1-x^2), & |x|<1\\[1mm]
0, & |x|\geqslant1
\end{cases}
Демидович № 983 — решение и ответ