Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 992

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

При каком условии функция

f(x)= \begin{cases} x^n\sin\dfrac1x, & x\ne0\\ 0, & x=0 \end{cases}

а) непрерывна при

x=0

;

б) дифференцируема при

x=0

;

в) имеет непрерывную производную при

x=0

Ответ:При

n\in\mathbb Z_{\geqslant0}

функция непрерывна
в нуле при

n\geqslant1

При

n\in\mathbb Z_{\geqslant0}

функция
дифференцируема в нуле при

n\geqslant2, \qquad f'(0)=0

При

n\in\mathbb Z_{\geqslant0}

производная
непрерывна в нуле при

n\geqslant3

Решение

Идея

В условии множество значений

n

не уточнено, поэтому далее считаем,
что

n

— неотрицательное целое число.

1
Пункт а)
Для $x\ne0$ $|f(x)|\leqslant|x|^n$ При $n>0$ по теореме о зажатой функции (теореме о двух милиционерах)
$f(x)\to0=f(0)$ при $x\to0$ . При $n=0$ выражение
$\sin\dfrac1x$ не имеет предела, поэтому непрерывности нет.
2
Пункт б)
По определению производной $f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^n\sin\dfrac1h}h =\lim_{h\to0}h^{n-1}\sin\frac1h$ При $n>1$ абсолютная величина последнего выражения не превосходит
$|h|^{n-1}$ , поэтому предел равен нулю. При $n=1$ получается
колеблющееся выражение $\sin\dfrac1h$ , не имеющее предела. При
$n=0$ функция не является непрерывной в нуле и потому не может быть
там дифференцируемой.
3
Пункт в)
При $x\ne0$ $f'(x)=n x^{n-1}\sin\frac1x-x^{n-2}\cos\frac1x$ Если $n>2$ , оба слагаемых стремятся к нулю, поэтому
$f'(x)\to f'(0)=0$ . При $n=2$ второе слагаемое равно
$-\cos\dfrac1x$ и предела не имеет.