Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 996

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 996

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной в данных
точках a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n.
Ответ:Подходит функцияf(x)=∑k=1n∣x−ak∣f(x)=\sum_{k=1}^{n}|x-a_k|Она непрерывна на R\mathbb R и не имеет производной ни в одной из
заданных точек a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n.

Решение

Идея

Повторяющиеся точки можно удалить, поскольку они не меняют заданное
множество. Поэтому считаем точки a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n попарно
различными и положимf(x)=∑k=1n∣x−ak∣f(x)=\sum_{k=1}^{n}|x-a_k|Каждое слагаемое непрерывно на R\mathbb R, следовательно, функция
ff также непрерывна на всей числовой прямой.
Зафиксируем точку aja_j. Представим функцию в видеf(x)=∣x−aj∣+gj(x),gj(x)=∑k=1k≠jn∣x−ak∣f(x)=|x-a_j|+g_j(x),
\qquad
g_j(x)=\sum_{\substack{k=1\\ k\ne j}}^{n}|x-a_k|Так как aj≠aka_j\ne a_k при k≠jk\ne j, функция gjg_j
дифференцируема в некоторой окрестности точки aja_j. Поэтомуf−′(aj)=gj′(aj)−1,f+′(aj)=gj′(aj)+1f'_-(a_j)=g'_j(a_j)-1,
\qquad
f'_+(a_j)=g'_j(a_j)+1Односторонние производные различаются на 22, значит, производной в
точке aja_j нет. Рассуждение справедливо для каждого
j=1,2,…,nj=1,2,\ldots,n.
Демидович № 996 — решение и ответ