Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1018

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1018

Может ли функция f(x)f(x) в точке её разрыва иметь:

а) конечную производную;

б) бесконечную производную?

Рассмотреть пример:f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn} x
Ответ:Нет, конечная производная в точке разрыва существовать не
может.

Да, бесконечная производная возможна. Например, для
f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn} x

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Если в точке x0x_0 существует конечная производная, тоf(x0+h)−f(x0)=hf(x0+h)−f(x0)h⟶0,(h→0)\begin{aligned}
    f(x_0+h)-f(x_0) &=h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\longrightarrow0,
    \qquad (h\to0)
    \end{aligned}
  2. 2
    Следовательно, функция непрерывна в x0x_0. Поэтому в точке разрыва
    конечной производной быть не может.
  3. 3

    Пункт б)

    Для функции f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn} x имеем f(0)=0f(0)=0, и при
    h≠0h\ne0f(h)−f(0)h=sgn⁡hh=1∣h∣⟶+∞\begin{aligned}
    \frac{f(h)-f(0)}h &=\frac{\operatorname{sgn} h}{h}=\frac1{|h|}\longrightarrow+\infty
    \end{aligned}
  4. 4
    При этом функция разрывна в точке x=0x=0. Значит, бесконечная
    производная в точке разрыва возможна.

Проверка

f′(0)=+∞f'(0)=+\infty