Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1021

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть функция

f(x)

дифференцируема в интервале

(x_0,+\infty)

и существует

\lim_{x\to+\infty}f(x)

Следует ли отсюда, что существует

\lim_{x\to+\infty}f'(x)?

Рассмотреть пример:

f(x)=\frac{\sin(x^2)}x

Ответ:Нет. Для

f(x)=\dfrac{\sin(x^2)}x

функция стремится к
нулю, а предел

f'(x)

при

x\to+\infty

не существует.

Решение

1
Поскольку $|\sin(x^2)|\leqslant1$ , имеем $\left|\frac{\sin(x^2)}x\right|\leqslant\frac1x$ и по теореме о зажатой функции $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ Вычислим производную: $f'(x)=2\cos(x^2)-\frac{\sin(x^2)}{x^2}$
2
Для последовательностей $x_n=\sqrt{2\pi n}, \qquad y_n=\sqrt{(2n+1)\pi}$ получаем $f'(x_n)=2, \qquad f'(y_n)=-2$

Проверка

Следовательно, производная не имеет предела при

x\to+\infty