Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1021

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1021

Пусть функция f(x)f(x) дифференцируема в интервале
(x0,+∞)(x_0,+\infty) и существуетlim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x)Следует ли отсюда, что существуетlim⁡x→+∞f′(x)?\lim_{x\to+\infty}f'(x)?Рассмотреть пример:f(x)=sin⁡(x2)xf(x)=\frac{\sin(x^2)}x
Ответ:Нет. Для f(x)=sin⁡(x2)xf(x)=\dfrac{\sin(x^2)}x функция стремится к
нулю, а предел f′(x)f'(x) при x→+∞x\to+\infty не существует.

Решение

Поскольку ∣sin⁡(x2)∣⩽1|\sin(x^2)|\leqslant1, имеем∣sin⁡(x2)x∣⩽1x\left|\frac{\sin(x^2)}x\right|\leqslant\frac1xи по теореме о зажатой функцииlim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0Вычислим производную:f′(x)=2cos⁡(x2)−sin⁡(x2)x2f'(x)=2\cos(x^2)-\frac{\sin(x^2)}{x^2}
Для последовательностейxn=2πn,yn=(2n+1)πx_n=\sqrt{2\pi n},
\qquad
y_n=\sqrt{(2n+1)\pi}получаемf′(xn)=2,f′(yn)=−2f'(x_n)=2,
\qquad
f'(y_n)=-2

Проверка

Следовательно, производная не имеет предела при x→+∞x\to+\infty.
Демидович № 1021 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика