Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 987

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать правило дифференцирования определителя

n

-го порядка:
производная определителя равна сумме

n

определителей, в каждом из
которых последовательно дифференцируется одна строка исходного
определителя.

Доказано:Если

D_k(x)

получается из

D(x)

дифференцированием элементов только

k

-й строки, то

D'(x)=\sum_{k=1}^{n}D_k(x)

Доказательство

Идея

Пусть все функции

f_{ij}(x)

дифференцируемы. Обозначим

Проверка

D(x)=\det\bigl(f_{ij}(x)\bigr)_{i,j=1}^{n}

По формуле Лейбница

D(x)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n}f_{i,\sigma(i)}(x)

Сумма конечна, поэтому её можно дифференцировать почленно. Для каждого
произведения применяем правило производной произведения

n

множителей:

D'(x)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \sum_{k=1}^{n}f'_{k,\sigma(k)}(x) \prod_{\substack{i=1\\ i\ne k}}^{n}f_{i,\sigma(i)}(x)

Меняя порядок двух конечных сумм, получаем

D'(x)=\sum_{k=1}^{n} \sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma) f'_{k,\sigma(k)}(x) \prod_{\substack{i=1\\ i\ne k}}^{n}f_{i,\sigma(i)}(x)

При фиксированном

k

внутренняя сумма является разложением по
формуле Лейбница определителя, у которого

k

-я строка
продифференцирована, а остальные строки оставлены без изменения.
Следовательно, сумма этих

n

определителей в точности равна

D'(x)

Что и требовалось доказать