Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 991

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 991

Показать, что функцияf(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=
\begin{cases}
x^2\sin\dfrac1x, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{cases}имеет разрывную производную.
Доказано:Функция дифференцируема на R\mathbb R и
f′(0)=0f'(0)=0, однако её производная разрывна при x=0x=0.

Доказательство

Идея

При x≠0x\ne0 по правилам произведения и сложной функцииf′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1xf'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1xВ точке x=0x=0 используем определение производной:f′(0)=lim⁡h→0h2sin⁡1h−0h=lim⁡h→0hsin⁡1h=0f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin\dfrac1h-0}{h}
=\lim_{h\to0}h\sin\frac1h=0Следовательно,
  1. 1
    f′(x)={2xsin⁡1x−cos⁡1x,x≠00,x=0f'(x)=
    \begin{cases}
    2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x, & x\ne0\\
    0, & x=0
    \end{cases}
  2. 2
    Проверим непрерывность производной в нуле.

Проверка

Рассмотрим две последовательностиxk=12πk,zk=1(2k+1)πx_k=\frac1{2\pi k},
\qquad
z_k=\frac1{(2k+1)\pi}Обе последовательности стремятся к нулю, ноf′(xk)=−1,f′(zk)=1f'(x_k)=-1,
\qquad
f'(z_k)=1Поэтому предела f′(x)f'(x) при x→0x\to0 не существует, и производная
разрывна в точке x=0x=0.

Что и требовалось доказать

Демидович № 991 — решение и ответ