Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 991

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Показать, что функция

f(x)= \begin{cases} x^2\sin\dfrac1x, & x\ne0\\ 0, & x=0 \end{cases}

имеет разрывную производную.

Доказано:Функция дифференцируема на

\mathbb R

f'(0)=0

, однако её производная разрывна при

x=0

Доказательство

При

x\ne0

по правилам произведения и сложной функции

f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x

В точке

x=0

используем определение производной:

f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin\dfrac1h-0}{h} =\lim_{h\to0}h\sin\frac1h=0

Следовательно,

f'(x)= \begin{cases} 2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x, & x\ne0\\ 0, & x=0 \end{cases}

Проверим непрерывность производной в нуле.

Проверка

Рассмотрим две последовательности

x_k=\frac1{2\pi k}, \qquad z_k=\frac1{(2k+1)\pi}

Обе последовательности стремятся к нулю, но

f'(x_k)=-1, \qquad f'(z_k)=1

Поэтому предела

f'(x)

при

x\to0

не существует, и производная
разрывна в точке

x=0

Что и требовалось доказать