Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 993

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

При каком условии функция

Задача 993

f(x)={∣x∣nsin⁡1∣x∣m,x≠00,x=0(m>0)f(x)=
\begin{cases}
|x|^n\sin\dfrac1{|x|^m}, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{cases}
\qquad(m>0)имеет:

а) ограниченную производную в окрестности начала координат;

б) неограниченную производную в этой окрестности?
Ответ:а) Производная ограничена в окрестности нуля приn⩾m+1n\geqslant m+1б) Производная существует в нуле и неограниченна в его
окрестности при1<n<m+11<n<m+1На проколотой окрестности производная неограниченна при любом
n<m+1n<m+1; при n⩽1n\leqslant1 производная в самой точке 00 не
существует.

Решение

Пусть n∈Rn\in\mathbb R, m>0m>0. Сначала проверим производную в нуле, затем оценим её значения при x≠0x\ne0.
Сначала выясним, когда производная существует в самой точке x=0x=0:f(h)−f(0)h=sgn⁡(h)∣h∣n−1sin⁡1∣h∣m\frac{f(h)-f(0)}h
=\operatorname{sgn}(h)|h|^{n-1}\sin\frac1{|h|^m}При n>1n>1 модуль отношения не больше ∣h∣n−1→0|h|^{n-1}\to0. Для остальных nn возьмём положительныеuk=(π/2+2πk)−1/m,vk=(3π/2+2πk)−1/m.u_k=(\pi/2+2\pi k)^{-1/m},\qquad v_k=(3\pi/2+2\pi k)^{-1/m}.Разностные отношения на этих последовательностях равны ukn−1u_k^{n-1} и −vkn−1-v_k^{n-1}. При n=1n=1 получаются 11 и −1-1; при n<1n<1 — значения, стремящиеся к противоположным бесконечностям. Поэтому
f′(0)f'(0) существует ровно при n>1n>1, и тогда f′(0)=0f'(0)=0.

Для x≠0x\ne0 дифференцируем с учётом равенства
(∣x∣)′=sgn⁡x(|x|)'=\operatorname{sgn} x:f′(x)=sgn⁡x(n∣x∣n−1sin⁡1∣x∣m−m∣x∣n−m−1cos⁡1∣x∣m)f'(x)=\operatorname{sgn} x\left(
n|x|^{n-1}\sin\frac1{|x|^m}
-m|x|^{n-m-1}\cos\frac1{|x|^m}
\right)

Пункт а)

Первое слагаемое ограничено при n⩾1n\geqslant1. Второе ограничено
тогда и только тогда, когдаn−m−1⩾0n-m-1\geqslant0Так как m>0m>0, это условие автоматически влечёт n>1n>1, то есть
существование f′(0)f'(0). Следовательно, производная ограничена в полной
окрестности нуля при n⩾m+1n\geqslant m+1.

Пункт б)

Если n<m+1n<m+1, возьмём положительные числаxk=(2πk)−1mx_k=(2\pi k)^{-\frac1m}Тогда sin⁡1xkm=0\sin\dfrac1{x_k^m}=0, cos⁡1xkm=1\cos\dfrac1{x_k^m}=1, и∣f′(xk)∣=mxkn−m−1⟶+∞|f'(x_k)|=m x_k^{n-m-1}\longrightarrow+\inftyПоэтому в проколотой окрестности нуля производная неограниченна.
Если дополнительно требуется, чтобы производная существовала и при
x=0x=0, необходимо условие n>1n>1.
Демидович № 993 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика