Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 993

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

При каком условии функция

Задача 993

f(x)= \begin{cases} |x|^n\sin\dfrac1{|x|^m}, & x\ne0\\ 0, & x=0 \end{cases} \qquad(m>0)

имеет:

а) ограниченную производную в окрестности начала координат;

б) неограниченную производную в этой окрестности?

Ответ:Производная ограничена в окрестности нуля при

n\geqslant m+1

Производная существует в нуле и неограниченна в его
окрестности при

1<n<m+1

На проколотой окрестности производная неограниченна при любом

n<m+1

; при

n\leqslant1

производная в самой точке

0

не
существует.

Решение

Идея

В условии множество значений

n

не уточнено, поэтому далее считаем,
что

n\in\mathbb R

, а

m>0

1
Сначала выясним, когда производная существует в самой точке $x=0$ : $\frac{f(h)-f(0)}h =\operatorname{sgn}(h)|h|^{n-1}\sin\frac1{|h|^m}$ Этот предел равен нулю при $n>1$ . При $n=1$ он колеблется, а при
$n<1$ вдоль подходящих последовательностей неограничен. Поэтому
$f'(0)$ существует ровно при $n>1$ , и тогда $f'(0)=0$ .

Для $x\ne0$ дифференцируем с учётом равенства
$(|x|)'=\operatorname{sgn} x$ : $f'(x)=\operatorname{sgn} x\left( n|x|^{n-1}\sin\frac1{|x|^m} -m|x|^{n-m-1}\cos\frac1{|x|^m} \right)$
2
Пункт а)
Первое слагаемое ограничено при $n\geqslant1$ . Второе ограничено
тогда и только тогда, когда $n-m-1\geqslant0$ Так как $m>0$ , это условие автоматически влечёт $n>1$ , то есть
существование $f'(0)$ . Следовательно, производная ограничена в полной
окрестности нуля при $n\geqslant m+1$ .
3
Пункт б)
Если $n<m+1$ , возьмём положительные числа $x_k=(2\pi k)^{-\frac1m}$ Тогда $\sin\dfrac1{x_k^m}=0$ , $\cos\dfrac1{x_k^m}=1$ , и $|f'(x_k)|=m x_k^{n-m-1}\longrightarrow+\infty$ Поэтому в проколотой окрестности нуля производная неограниченна.
Если дополнительно требуется, чтобы производная существовала и при
$x=0$ , необходимо условие $n>1$ .