Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 972

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\left(\cos^2x+\sqrt{1+\cos^4x}\right)

вводя промежуточную переменную

u=\cos^2x

Ответ:

y'=-\frac{\sin2x}{\sqrt{1+\cos^4x}},\qquad x\in\mathbb R

Решение

Положим

u=\cos^2x

Тогда

y=\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right)

Дифференцируя по

u

, получаем

\frac{dy}{du}=\frac1{\sqrt{1+u^2}}

Кроме того,

\frac{du}{dx}=-2\sin x\cos x=-\sin2x

По правилу цепочки получаем формулу ответа.