Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 979

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

y=\begin{cases}1-x, & -\infty<x<1\\(1-x)(2-x), & 1\leqslant x\leqslant2\\-(2-x), & 2<x<+\infty\end{cases}

Построение

y'=\begin{cases}-1, & x\leqslant1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x\geqslant2\end{cases}

Построение

На каждом из трёх промежутков берём производную указанной формулы.
На среднем отрезке удобно предварительно раскрыть знаки:

(1-x)(2-x)=(x-1)(x-2)

Поэтому при

x\ne1,2

y'=\begin{cases}-1, & x<1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x>2\end{cases}

Отдельно проверим точки склейки. При

x=1

значение функции равно
нулю. Для

h<0

используется первая формула, а для

h>0

---
вторая, поэтому

\frac{y(1+h)-y(1)}{h}=\begin{cases}-1, & h<0\\-1+h, & h>0\end{cases}

Обе односторонние границы дают

y'(1)=-1

.

Аналогично

y(2)=0

, и

\frac{y(2+h)-y(2)}{h}=\begin{cases}1+h, & h<0\\1, & h>0\end{cases}

Следовательно,

y'(2)=1

. Получаем формулу, в которой каждая
граничная точка отнесена ровно к одной строке:

y'=\begin{cases}-1, & x\leqslant1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x\geqslant2\end{cases}

График функции состоит из двух лучей и дуги
параболы

y=(x-1)(x-2)

между точками

(1,0)

(2,0)

.
Вершина дуги находится в точке

\left(\frac32,-\frac14\right)

Все три части соединяются непрерывно и имеют общие касательные в точках
склейки. График производной состоит из горизонтального луча

y'=-1

,
отрезка прямой

y'=2x-3

и горизонтального луча

y'=1

$график к задаче Демидовича № 979$ $график к задаче Демидовича № 979$

y'=\begin{cases}-1, & x\leqslant1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x\geqslant2\end{cases}