Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 979

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 979

y=\begin{cases}1-x, & -\infty<x<1\\(1-x)(2-x), & 1\leqslant x\leqslant2\\-(2-x), & 2<x<+\infty\end{cases}

Построение

y'=\begin{cases}-1, & x\leqslant1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x\geqslant2\end{cases}

Построение

Идея

На каждом из трёх промежутков берём производную указанной формулы.
На среднем отрезке удобно предварительно раскрыть знаки:

(1-x)(2-x)=(x-1)(x-2)

Поэтому при

x\ne1,2

y'=\begin{cases}-1, & x<1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x>2\end{cases}

1
Отдельно проверим точки склейки. При $x=1$ значение функции равно
нулю. Для $h<0$ используется первая формула, а для $h>0$ —
вторая, поэтому $\frac{y(1+h)-y(1)}{h}=\begin{cases}-1, & h<0\\-1+h, & h>0\end{cases}$ Обе односторонние границы дают $y'(1)=-1$ .

Аналогично $y(2)=0$ , и $\frac{y(2+h)-y(2)}{h}=\begin{cases}1+h, & h<0\\1, & h>0\end{cases}$ Следовательно, $y'(2)=1$ . Получаем формулу, в которой каждая
граничная точка отнесена ровно к одной строке: $y'=\begin{cases}-1, & x\leqslant1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x\geqslant2\end{cases}$
2
Построение графика
График функции состоит из двух лучей и дуги
параболы $y=(x-1)(x-2)$ между точками $(1,0)$ и $(2,0)$ .
Вершина дуги находится в точке $\left(\frac32,-\frac14\right)$ Все три части соединяются непрерывно и имеют общие касательные в точках
склейки. График производной состоит из горизонтального луча $y'=-1$ ,
отрезка прямой $y'=2x-3$ и горизонтального луча $y'=1$ . $график к задаче Демидовича № 979$ $график к задаче Демидовича № 979$

Проверка

y'=\begin{cases}-1, & x\leqslant1\\2x-3, & 1<x<2\\1, & x\geqslant2\end{cases}