Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1006

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить левую производную f−′(x)f'_-(x) и правую производную f+′(x)f'_+(x) функции:

Задача 1006

f(x)=∣ln⁡∣x∣∣(x≠0)f(x)=|\ln|x||\qquad(x\ne0)
Ответ:При x≠0x\ne0 и ∣x∣≠1|x|\ne1f−′(x)=f+′(x)=sgn⁡(ln⁡∣x∣)xf'_-(x)=f'_+(x)
=\frac{\operatorname{sgn}(\ln|x|)}xВ точках x=±1x=\pm1f−′(±1)=−1f+′(±1)=1f'_-(\pm1)=-1
\qquad
f'_+(\pm1)=1При x=0x=0 функция не определена.

Решение

Функция определена при x≠0x\ne0. Если ∣x∣≠1|x|\ne1, выражение
ln⁡∣x∣\ln|x| отлично от нуля, поэтомуf−′(x)=f+′(x)=sgn⁡(ln⁡∣x∣)xf'_-(x)=f'_+(x)
=\frac{\operatorname{sgn}(\ln|x|)}x
Остаётся исследовать точки x=1x=1 и x=−1x=-1. В точке x=1x=1ln⁡∣1+h∣=h+o(h)\ln|1+h|=h+o(h)а в точке x=−1x=-1ln⁡∣−1+h∣=−h+o(h)\ln|-1+h|=-h+o(h)После взятия модуля в обоих случаях главное слагаемое равно ∣h∣|h|.
Поэтомуf−′(1)=−1f+′(1)=1f−′(−1)=−1f+′(−1)=1\begin{aligned}
f'_-(1)&=-1
&\qquad
f'_+(1)&=1\\
f'_-(-1)&=-1
&
f'_+(-1)&=1
\end{aligned}