Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1008

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1008

f(x)=(x−2)arctg⁡1x−2(x≠2),f(2)=0f(x)=(x-2)\operatorname{arctg}\frac1{x-2}\quad(x\ne2),
\qquad f(2)=0
Ответ:При x≠2x\ne2f−′(x)=f+′(x)=arctg⁡1x−2−x−21+(x−2)2f'_-(x)=f'_+(x)
=\operatorname{arctg}\frac1{x-2}-\frac{x-2}{1+(x-2)^2}а при x=2x=2f−′(2)=−π2f+′(2)=π2f'_-(2)=-\frac\pi2
\qquad
f'_+(2)=\frac\pi2

Решение

Идея

При x≠2x\ne2 применяем правило производной произведения:f′(x)=arctg⁡1x−2+(x−2)−1(x−2)21+1(x−2)2==arctg⁡1x−2−x−21+(x−2)2\begin{aligned}
f'(x)&=\operatorname{arctg}\frac1{x-2}
+(x-2)\frac{-\dfrac1{(x-2)^2}}
{1+\dfrac1{(x-2)^2}}=\\
&=\operatorname{arctg}\frac1{x-2}-\frac{x-2}{1+(x-2)^2}
\end{aligned}Следовательно, при x≠2x\ne2 левая и правая производные совпадают с
этой формулой.
В точке x=2x=2 разностное отношение имеет видf(2+h)−f(2)h=arctg⁡1h\frac{f(2+h)-f(2)}h=\operatorname{arctg}\frac1hПри h→0−h\to0^- оно стремится к −π2-\dfrac\pi2, а при
h→0+h\to0^+ — к π2\dfrac\pi2. Поэтомуf−′(2)=−π2f+′(2)=π2f'_-(2)=-\frac\pi2
\qquad
f'_+(2)=\frac\pi2
Демидович № 1008 — решение и ответ