Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 986

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

1. Найти

y'

, если:

\text{а) }y=f(x^2); \qquad \text{б) }y=f(\sin^2x)+f(\cos^2x)

\text{в) }y=f(e^x)\cdot e^{f(x)}; \qquad \text{г) }y=f\{f[f(x)]\}

где

f(u)

— дифференцируемая функция.

2. Найти

f'(0)

, если

f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-1000)

Ответ:

y'=2x f'(x^2)

y'=\sin2x\bigl(f'(\sin^2x)-f'(\cos^2x)\bigr)

y'=e^{f(x)}\bigl(e^x f'(e^x)+f(e^x)f'(x)\bigr)

y'=f'(f(f(x)))\,f'(f(x))\,f'(x)

f'(0)=1000!

Решение

Идея

1а) По правилу производной сложной функции

y'=2x f'(x^2)

1б) Дифференцируем оба слагаемых:

\begin{aligned} y'&=2\sin x\cos x\,f'(\sin^2x) -2\sin x\cos x\,f'(\cos^2x)=\\ &=\sin2x\bigl(f'(\sin^2x)-f'(\cos^2x)\bigr) \end{aligned}

1в) Сначала применяем правило произведения, а затем правило
производной сложной функции:

\begin{aligned} y'&=f'(e^x)e^x e^{f(x)} +f(e^x)e^{f(x)}f'(x)=\\ &=e^{f(x)}\bigl(e^x f'(e^x)+f(e^x)f'(x)\bigr) \end{aligned}

1г) Данная запись означает трёхкратную композицию

y=f(f(f(x)))

Последовательно применяя правило цепочки, получаем

y'=f'(f(f(x)))\,f'(f(x))\,f'(x)

Вынесем первый множитель:

f(x)=xg(x), \qquad g(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-1000)

Тогда

f'(0)=g(0)=(-1)(-2)\cdots(-1000) =(-1)^{1000}1000!=1000!