Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 995

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 995

Показать, что функцияf(x)=∣x−a∣φ(x)f(x)=|x-a|\varphi(x)где φ(x)\varphi(x) — непрерывная функция и φ(a)≠0\varphi(a)\ne0, не
имеет производной в точке aa.

Чему равны односторонние производные f−′(a)f'_-(a) и f+′(a)f'_+(a)?
Доказано:f−′(a)=−φ(a),f+′(a)=φ(a)f'_-(a)=-\varphi(a),
\qquad
f'_+(a)=\varphi(a)Функция не дифференцируема в точке aa.

Доказательство

Проверка

Поскольку f(a)=0f(a)=0, при h≠0h\ne0f(a+h)−f(a)h=∣h∣hφ(a+h)\frac{f(a+h)-f(a)}h
=\frac{|h|}{h}\varphi(a+h)При h→0−h\to0^- отношение ∣h∣h\dfrac{|h|}{h} равно −1-1, а при
h→0+h\to0^+ — 11. Из непрерывности φ\varphi следуетf−′(a)=−φ(a),f+′(a)=φ(a)f'_-(a)=-\varphi(a),
\qquad
f'_+(a)=\varphi(a)Так как φ(a)≠0\varphi(a)\ne0, эти числа различны. Следовательно, обычной
двусторонней производной в точке aa нет.

Что и требовалось доказать

Демидович № 995 — решение и ответ