Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1002

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить левую производную

f'_-(x)

и правую производную

f'_+(x)

функции:

f(x)=x\left|\cos\frac\pi x\right|\quad(x\ne0),\qquad f(0)=0

Ответ:При

x\ne0

x\notin\left\{\dfrac2{2k+1}:k\in\mathbb Z\right\}

левая и правая
производные совпадают с обычной производной. Для

x_k=\dfrac2{2k+1}

f'_-(x_k)=-\frac\pi{x_k} \qquad f'_+(x_k)=\frac\pi{x_k}

При

x=0

ни левой, ни правой производной не существует.

Решение

При

x\ne0

возможные точки недифференцируемости модуля определяются
равенством

\cos\frac\pi x=0

Отсюда

\frac\pi x=\frac\pi2+\pi k \qquad x=x_k=\frac{2}{2k+1} \qquad k\in\mathbb Z

Если

x\ne0

x\ne x_k

, то функция дифференцируема и

\begin{aligned} f'_-(x)=f'_+(x) ={}&\left|\cos\frac\pi x\right| +\frac\pi x\sin\frac\pi x\, \operatorname{sgn}\left(\cos\frac\pi x\right)\end{aligned}

В точке

x_k

функция под модулем имеет простой нуль. Поскольку

\left|\left(\cos\frac\pi x\right)'_{x=x_k}\right| =\frac\pi{x_k^2}

вблизи

x_k

имеем

\left|\cos\frac{\pi}{x_k+h}\right| =\frac{\pi}{x_k^2}|h|+o(|h|)

и поэтому

\begin{aligned} f(x_k+h) &=(x_k+h) \left( \frac{\pi}{x_k^2}|h|+o(|h|) \right)=\\ &=\frac\pi{x_k}|h|+o(|h|)\end{aligned}

Следовательно,

f'_-(x_k)=-\frac\pi{x_k} \qquad f'_+(x_k)=\frac\pi{x_k}

Проверка

Наконец, при

x=0

разностное отношение равно

\frac{f(h)-f(0)}h=\left|\cos\frac\pi h\right|

При

h=\pm1/n

это отношение равно

|\cos(\pm\pi n)|=1

, а при

h=\pm2/(2n+1)

—

|\cos(\pm\pi(2n+1)/2)|=0

. Все четыре последовательности стремятся к нулю. Поэтому предела нет ни справа, ни слева.