Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 974

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции, вводя подходящую промежуточную переменную, как в №972:

y=\frac12\operatorname{arctg}\sqrt[4]{1+x^4}+\frac14\ln\frac{\sqrt[4]{1+x^4}+1}{\sqrt[4]{1+x^4}-1}

Ответ:

y'=-\frac1{x(1+x^4)^{\frac34}},\qquad x\ne0

Решение

Положим

u=\sqrt[4]{1+x^4}

Логарифм определён при

u>1

, то есть при

x\ne0

. Производная
внешней функции по

u

равна

\begin{aligned}\frac{dy}{du}=\frac1{2(1+u^2)}&+\frac14\left(\frac1{u+1}-\frac1{u-1}\right)=\\&=-\frac1{u^4-1}\end{aligned}

u'=\frac{x^3}{(1+x^4)^{\frac34}}

Так как

u^4-1=x^4

, подстановка найденных производных даёт ответ.