Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 980

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 980

y={(x−a)2(x−b)2,a⩽x⩽b0,вне отрезка [a,b]y=
\begin{cases}
(x-a)^2(x-b)^2, & a\leqslant x\leqslant b\\
0, & \text{вне отрезка }[a,b]
\end{cases}
ПостроениеПри a<ba<by′={0,x⩽a2(x−a)(x−b)(2x−a−b),a<x<b0,x⩾by'=
\begin{cases}
0, & x\leqslant a\\
2(x-a)(x-b)(2x-a-b), & a<x<b\\
0, & x\geqslant b
\end{cases}При a=ba=b имеем y′≡0y'\equiv0.

Построение

Идея

Будем, как обычно для отрезка [a,b][a,b], считать a⩽ba\leqslant b.
При a=ba=b функция тождественно равна нулю, поэтому y′≡0y'\equiv0.
Далее пусть a<ba<b.
  1. 1
    Внутри отрезка применяем правило произведения:y′=y'\mathrel{=}2(x−a)(x−b)2+2(x−a)2(x−b)=2(x-a)(x-b)^2+2(x-a)^2(x-b)\mathrel{=}2(x−a)(x−b)((x−b)+(x−a))=2(x-a)(x-b)\bigl((x-b)+(x-a)\bigr)\mathrel{=}2(x−a)(x−b)(2x−a−b)2(x-a)(x-b)(2x-a-b)Вне [a,b][a,b] функция постоянна, поэтому её производная равна нулю.
  2. 2
    Проверим концы отрезка. При h>0h>0y(a+h)−y(a)h=h(a−b+h)2→0\frac{y(a+h)-y(a)}{h}
    =h(a-b+h)^2\to0    а слева от aa разностное отношение равно нулю. Поэтому y′(a)=0y'(a)=0.
    Так же при h<0h<0y(b+h)−y(b)h=h(b−a+h)2→0\frac{y(b+h)-y(b)}{h}
    =h(b-a+h)^2\to0    а справа от bb разностное отношение равно нулю. Следовательно,
    y′(b)=0y'(b)=0, иy′={0,x⩽a2(x−a)(x−b)(2x−a−b),a<x<b0,x⩾by'=
    \begin{cases}
    0, & x\leqslant a\\
    2(x-a)(x-b)(2x-a-b), & a<x<b\\
    0, & x\geqslant b
    \end{cases}
  3. 3
    Обозначимℓ=b−a>0,m=a+b2\ell=b-a>0,
    \qquad
    m=\frac{a+b}{2}    На (a,m)(a,m) производная положительна, а на (m,b)(m,b) отрицательна.
    Поэтому функция возрастает от нуля до единственного максимума, а затем
    убывает до нуля. В середине отрезкаy(m)=(ℓ2)4=ℓ416y(m)=\left(\frac \ell2\right)^4=\frac{\ell^4}{16}
  4. 4

    Построение графика

    Чтобы показать общий случай без выбора конкретных
    параметров, введём нормированную координатуt=x−aℓt=\frac{x-a}{\ell}Точкам x=a,m,bx=a,m,b соответствуют t=0,12,1t=0,\frac12,1. После вертикального
    масштабирования получаемY=yℓ4=t2(1−t)2,Z=y′2ℓ3=t(1−t)(1−2t)Y=\frac{y}{\ell^4}=t^2(1-t)^2,
    \qquad
    Z=\frac{y'}{2\ell^3}=t(1-t)(1-2t)    внутри [0,1][0,1]; вне этого отрезка обе функции равны нулю. Эти два
    нормированных графика описывают все случаи a<ba<b. При переходе к
    исходным координатам горизонтальная ось растягивается в ℓ\ell раз и
    сдвигается на aa, то есть x=a+ℓtx=a+\ell t; по вертикали используются
    масштабирования y=ℓ4Yy=\ell^4Y и y′=2ℓ3Zy'=2\ell^3Z.
    Экстремумы производной достигаются приt=3∓36,Z=±318t=\frac{3\mp\sqrt3}{6},
    \qquad
    Z=\pm\frac{\sqrt3}{18}    график к задаче Демидовича № 980график к задаче Демидовича № 980
  5. 5

    Ответ

    При a<ba<by′={0,x⩽a2(x−a)(x−b)(2x−a−b),a<x<b0,x⩾by'=
    \begin{cases}
    0, & x\leqslant a\\
    2(x-a)(x-b)(2x-a-b), & a<x<b\\
    0, & x\geqslant b
    \end{cases}

Проверка

При a=ba=b имеем y′≡0y'\equiv0.
Демидович № 980 — решение и ответ