Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 980

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 980

y={(x−a)2(x−b)2,a⩽x⩽b0,вне отрезка [a,b]y=
\begin{cases}
(x-a)^2(x-b)^2, & a\leqslant x\leqslant b\\
0, & \text{вне отрезка }[a,b]
\end{cases}
ПостроениеПри a<ba<by′={0,x⩽a2(x−a)(x−b)(2x−a−b),a<x<b0,x⩾by'=
\begin{cases}
0, & x\leqslant a\\
2(x-a)(x-b)(2x-a-b), & a<x<b\\
0, & x\geqslant b
\end{cases}При a=ba=b имеем y′≡0y'\equiv0.

Построение

Будем, как обычно для отрезка [a,b][a,b], считать a⩽ba\leqslant b.
При a=ba=b функция тождественно равна нулю, поэтому y′≡0y'\equiv0.
Далее пусть a<ba<b.
Внутри отрезка применяем правило произведения:y′=\displaystyle y'\mathrel{=}2(x−a)(x−b)2+2(x−a)2(x−b)=\displaystyle 2(x-a)(x-b)^2+2(x-a)^2(x-b)\mathrel{=}2(x−a)(x−b)((x−b)+(x−a))=\displaystyle 2(x-a)(x-b)\bigl((x-b)+(x-a)\bigr)\mathrel{=}2(x−a)(x−b)(2x−a−b)\displaystyle 2(x-a)(x-b)(2x-a-b)Вне [a,b][a,b] функция постоянна, поэтому её производная равна нулю.
Проверим концы отрезка. При h>0h>0y(a+h)−y(a)h=h(a−b+h)2→0\frac{y(a+h)-y(a)}{h}
=h(a-b+h)^2\to0а слева от aa разностное отношение равно нулю. Поэтому y′(a)=0y'(a)=0.
Аналогично, при h<0h<0y(b+h)−y(b)h=h(b−a+h)2→0\frac{y(b+h)-y(b)}{h}
=h(b-a+h)^2\to0а справа от bb разностное отношение равно нулю. Следовательно,
y′(b)=0y'(b)=0, иy′={0,x⩽a2(x−a)(x−b)(2x−a−b),a<x<b0,x⩾by'=
\begin{cases}
0, & x\leqslant a\\
2(x-a)(x-b)(2x-a-b), & a<x<b\\
0, & x\geqslant b
\end{cases}
Обозначимℓ=b−a>0,m=a+b2\ell=b-a>0,
\qquad
m=\frac{a+b}{2}При a⩽x⩽ba\leqslant x\leqslant b имеем(x−a)(b−x)=ℓ24−(x−m)2⩾0,y=[(x−a)(b−x)]2.(x-a)(b-x)=\frac{\ell^2}{4}-(x-m)^2\geqslant0,
\qquad y=[(x-a)(b-x)]^2.Когда xx движется от aa к mm, квадрат (x−m)2(x-m)^2 строго уменьшается, а неотрицательное выражение в скобках увеличивается; поэтому увеличивается и yy. При движении от mm к bb обе зависимости меняют направление. Максимум достигается при x=mx=m:y(m)=(ℓ24)2=ℓ416.y(m)=\left(\frac{\ell^2}{4}\right)^2=\frac{\ell^4}{16}.

Построение графика

Чтобы показать общий случай без выбора конкретных
параметров, введём нормированную координатуt=x−aℓt=\frac{x-a}{\ell}Точкам x=a,m,bx=a,m,b соответствуют t=0,12,1t=0,\frac12,1. После вертикального
масштабирования получаемY=yℓ4=t2(1−t)2,Z=y′2ℓ3=t(1−t)(1−2t)Y=\frac{y}{\ell^4}=t^2(1-t)^2,
\qquad
Z=\frac{y'}{2\ell^3}=t(1-t)(1-2t)внутри [0,1][0,1]; вне этого отрезка обе функции равны нулю. Эти два
нормированных графика описывают все случаи a<ba<b. При переходе к
исходным координатам горизонтальная ось растягивается в ℓ\ell раз и
сдвигается на aa, то есть x=a+ℓtx=a+\ell t; по вертикали используются
масштабирования y=ℓ4Yy=\ell^4Y и y′=2ℓ3Zy'=2\ell^3Z.
Обоснуем отмеченные на графике точки без дифференцирования производной. При 0⩽t⩽1/20\leqslant t\leqslant1/2 положим s=1/2−ts=1/2-t. ТогдаZ=t(1−t)(1−2t)=s2−2s3.Z=t(1-t)(1-2t)=\frac{s}{2}-2s^3.Выбираем s0>0s_0>0 так, чтобы 6s02=1/26s_0^2=1/2; отсюда s0=3/6s_0=\sqrt3/6. Для всех s⩾0s\geqslant04s03−(s2−2s3)=2(s−s0)2(s+2s0)⩾0.4s_0^3-\left(\frac{s}{2}-2s^3\right)
=2(s-s_0)^2(s+2s_0)\geqslant0.Равенство достигается только при s=s0s=s_0. При этом 4s03=4⋅33/216=3/184s_0^3=4\cdot3\sqrt3/216=\sqrt3/18. Из Z(1−t)=−Z(t)Z(1-t)=-Z(t) получаем вторую точку. Таким образом, экстремумы производной достигаются приt=3∓36,Z=±318t=\frac{3\mp\sqrt3}{6},
\qquad
Z=\pm\frac{\sqrt3}{18}
график к задаче Демидовича № 980график к задаче Демидовича № 980

Ответ

При a<ba<by′={0,x⩽a2(x−a)(x−b)(2x−a−b),a<x<b0,x⩾by'=
\begin{cases}
0, & x\leqslant a\\
2(x-a)(x-b)(2x-a-b), & a<x<b\\
0, & x\geqslant b
\end{cases}При a=ba=b имеем y′≡0y'\equiv0.
Демидович № 980 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика