Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 990

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 990

Дан график функции. Приближённо построить график её производной.график к задаче Демидовича № 990
ПостроениеНа показанном участке график производной пересекает ось OxOx
при x=−2x=-2 и x=2x=2 и касается её снизу при x=0x=0. Производная отрицательна
при −2<x<0-2<x<0 и 0<x<20<x<2; на изображённых частях слева от −2-2 и справа от
22 она положительна. При приближённом построении график считаем
симметричным относительно оси OyOy. Его минимумы расположены примерно при
x≈±1,4x\approx\pm1{,}4 на уровне y′≈−1,9y'\approx-1{,}9.

Построение

Значение f′(x)f'(x) приближённо равно угловому коэффициенту касательной к
исходному графику в точке с абсциссой xx. На рисунке коротким пунктиром
проведены касательные в семи характерных точках. Поскольку масштабы по
осям одинаковы, их наклоны можно оценивать по клеткам как отношение
ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}. Например, для касательной при
x=−1,4x=-1{,}4 получаемΔx≈0,4,Δy≈−0,75,f′(−1,4)≈−0,750,4=−1,875≈−1,9\Delta x\approx0{,}4,\qquad \Delta y\approx-0{,}75,
\qquad f'(-1{,}4)\approx\frac{-0{,}75}{0{,}4}
=-1{,}875\approx-1{,}9Для касательной при x=−0,75x=-0{,}75 по клеткам получаем примерно Δx=0,4\Delta x=0{,}4, Δy=−0,36\Delta y=-0{,}36, откуда наклон −0,36/0,4=−0,9-0{,}36/0{,}4=-0{,}9. На правой половине рисунка наклоны симметричных касательных совпадают с точностью построения. Все числа в таблице,
кроме нулей в точках с горизонтальными касательными, являются
приближёнными.
x−2−1,4−0,7500,751,42f′(x)0≈−1,9≈−0,90≈−0,9≈−1,90\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\boldsymbol{x}
& -2 & -1{,}4 & -0{,}75 & 0
& 0{,}75 & 1{,}4 & 2 \\
\hline
\boldsymbol{f'(x)}
& 0 & \approx-1{,}9 & \approx-0{,}9 & 0
& \approx-0{,}9 & \approx-1{,}9 & 0
\end{array}Три горизонтальные касательные даютf′(−2)=f′(0)=f′(2)=0f'(-2)=f'(0)=f'(2)=0При x=−2x=-2 исходная функция имеет максимум, а при x=2x=2 — минимум.
Поэтому в этих точках знак производной меняется. В точке x=0x=0 график
имеет горизонтальную касательную, однако знак производной при прохождении
через эту точку не меняется. Следовательно, x=0x=0 не является точкой
экстремума функции.

На показанном участке функция возрастает слева от максимума и справа от
минимума, поэтому здесьf′(x)>0приx<−2иx>2f'(x)>0
\quad\text{при}\quad
x<-2
\quad\text{и}\quad
x>2Между максимумом и минимумом функция убывает, откудаf′(x)<0при−2<x<0и0<x<2f'(x)<0
\quad\text{при}\quad
-2<x<0
\quad\text{и}\quad
0<x<2Таким образом, при x=−2x=-2 и x=2x=2 график производной пересекает ось
OxOx, а при x=0x=0 касается её снизу и снова уходит в нижнюю полуплоскость.

Исходный график выглядит центрально симметричным относительно начала
координат. Поэтому при приближённом построении график производной также
считаем симметричным относительно оси OyOy. Около
x≈±1,4x\approx\pm1{,}4 исходный график меняет направление выпуклости и имеет
наибольший по модулю отрицательный наклон. Поэтому в этих местах график
производной имеет приближённые минимумы около уровня −1,9-1{,}9.

Построение графика

Переносим на координатную плоскость пары из таблицы и
проводим через них плавную кривую. При x=−2x=-2 и x=2x=2 она пересекает ось
OxOx, а в нуле касается её снизу. Полученный график является
приближённым эскизом производной на показанном участке.график к задаче Демидовича № 990
Демидович № 990 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика