Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 990

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 990

Дан график функции. Приближённо построить график её производной.график к задаче Демидовича № 990
ПостроениеНа показанном участке график производной пересекает ось OxOx
при x=−2x=-2 и x=2x=2 и касается её снизу при x=0x=0. Производная отрицательна
при −2<x<0-2<x<0 и 0<x<20<x<2; на изображённых частях слева от −2-2 и справа от
22 она положительна. При приближённом построении график считаем
симметричным относительно оси OyOy. Его минимумы расположены примерно при
x≈±1,4x\approx\pm1{,}4 на уровне y′≈−1,9y'\approx-1{,}9.

Построение

Идея

Значение f′(x)f'(x) приближённо равно угловому коэффициенту касательной к
исходному графику в точке с абсциссой xx. На рисунке коротким пунктиром
проведены касательные в семи характерных точках. Поскольку масштабы по
осям одинаковы, их наклоны можно оценивать по клеткам как отношение
ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}. Например, для касательной при
x=−1,4x=-1{,}4 получаемf′(−1,4)≈ΔyΔx≈−1,9f'(-1{,}4)
\approx\frac{\Delta y}{\Delta x}
\approx-1{,}9Аналогично снимаем с рисунка остальные значения. Все числа в таблице,
кроме нулей в точках с горизонтальными касательными, являются
приближёнными.
  1. 1
    x−2−1,4−0,7500,751,42f′(x)0≈−1,9≈−0,90≈−0,9≈−1,90\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
    \boldsymbol{x}
    & -2 & -1{,}4 & -0{,}75 & 0
    & 0{,}75 & 1{,}4 & 2 \\
    \hline
    \boldsymbol{f'(x)}
    & 0 & \approx-1{,}9 & \approx-0{,}9 & 0
    & \approx-0{,}9 & \approx-1{,}9 & 0
    \end{array}    Три горизонтальные касательные даютf′(−2)=f′(0)=f′(2)=0f'(-2)=f'(0)=f'(2)=0При x=−2x=-2 исходная функция имеет максимум, а при x=2x=2 — минимум.
    Поэтому в этих точках знак производной меняется. В точке x=0x=0 график
    имеет горизонтальную касательную, однако знак производной при прохождении
    через эту точку не меняется. Следовательно, x=0x=0 не является точкой
    экстремума функции.

    На показанном участке функция возрастает слева от максимума и справа от
    минимума, поэтому здесьf′(x)>0приx<−2иx>2f'(x)>0
    \quad\text{при}\quad
    x<-2
    \quad\text{и}\quad
    x>2    Между максимумом и минимумом функция убывает, откудаf′(x)<0при−2<x<0и0<x<2f'(x)<0
    \quad\text{при}\quad
    -2<x<0
    \quad\text{и}\quad
    0<x<2    Таким образом, при x=−2x=-2 и x=2x=2 график производной пересекает ось
    OxOx, а при x=0x=0 касается её снизу и снова уходит в нижнюю полуплоскость.

    Исходный график выглядит центрально симметричным относительно начала
    координат. Поэтому при приближённом построении график производной также
    считаем симметричным относительно оси OyOy. Около
    x≈±1,4x\approx\pm1{,}4 исходный график меняет направление выпуклости и имеет
    наибольший по модулю отрицательный наклон. Поэтому в этих местах график
    производной имеет приближённые минимумы около уровня −1,9-1{,}9.
  2. 2

    Построение графика

    Переносим на координатную плоскость пары из таблицы и
    проводим через них плавную кривую. При x=−2x=-2 и x=2x=2 она пересекает ось
    OxOx, а в нуле касается её снизу. Полученный график является
    приближённым эскизом производной на показанном участке.график к задаче Демидовича № 990
Демидович № 990 — решение и ответ