Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 975

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции, вводя подходящую промежуточную переменную, как в №972:

y=\frac{e^{-x^2}\arcsin(e^{-x^2})}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}+\frac12\ln(1-e^{-2x^2})

Ответ:

y'=-\frac{2xe^{-x^2}\arcsin(e^{-x^2})}{(1-e^{-2x^2})^{\frac32}},\qquad x\ne0

Решение

Положим

u=e^{-x^2}

. Тогда

0<u\leqslant1

, а исходная функция
определена при

x\ne0

, когда

0<u<1

. Рассмотрим функцию

F(u)=\frac{u\arcsin u}{\sqrt{1-u^2}}+\frac12\ln(1-u^2)

При дифференцировании слагаемые без

\arcsin u

взаимно уничтожаются:

\begin{aligned}F'(u)=\frac{\arcsin u}{\sqrt{1-u^2}}&+\frac{u}{1-u^2}+\frac{u^2\arcsin u}{(1-u^2)^{\frac32}}-\frac{u}{1-u^2}=\\&=\frac{\arcsin u}{(1-u^2)^{\frac32}}\end{aligned}

Так как

u'=-2xe^{-x^2}

, по правилу цепочки получаем ответ.