Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1005

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1005

f(x)=1−e−x2f(x)=\sqrt{1-e^{-x^2}}
Ответ:При x≠0x\ne0f−′(x)=f+′(x)=xe−x21−e−x2f'_-(x)=f'_+(x)
=\frac{x e^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}а при x=0x=0f−′(0)=−1f+′(0)=1f'_-(0)=-1
\qquad
f'_+(0)=1

Решение

Идея

Поскольку 0<e−x2⩽10<e^{-x^2}\leqslant1, функция определена при всех
x∈Rx\in\mathbb R. Если x≠0x\ne0, то подкоренное выражение
положительно иf−′(x)=f+′(x)=xe−x21−e−x2f'_-(x)=f'_+(x)
=\frac{x e^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}

Проверка

В точке x=0x=0 имеем f(0)=0f(0)=0. Используем эквивалентность1−e−h2∼h2h→01-e^{-h^2}\sim h^2
\qquad
h\to0Тогдаf(h)−f(0)h=1−e−h2h∼∣h∣h\frac{f(h)-f(0)}h
=\frac{\sqrt{1-e^{-h^2}}}{h}
\sim\frac{|h|}{h}Следовательно,f−′(0)=−1f+′(0)=1f'_-(0)=-1
\qquad
f'_+(0)=1
Демидович № 1005 — решение и ответ