Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 977

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 977

Найти производные и построить графики функций и их производных, если:а) y=∣x∣;б) y=x∣x∣;в) y=ln⁡∣x∣\text{а) }y=|x|;
\qquad
\text{б) }y=x|x|;
\qquad
\text{в) }y=\ln|x|
Построениеа) При x≠0x\ne0 имеем y′=sgn⁡xy'=\operatorname{sgn}x; в нуле производной нет. б) y′=2∣x∣y'=2|x| на всей прямой. в) y′=1/xy'=1/x при x≠0x\ne0; в нуле исходная функция не определена.

Построение

Пункт а)

y=∣x∣y=|x|.
Функция определена на всей числовой прямой и задаётся формуламиy={−x,x<0,x,x⩾0y=
\begin{cases}
-x, & x<0,\\
x, & x\geqslant0
\end{cases}Поэтому при x<0x<0 её производная равна −1-1, а при x>0x>0 равна 11.
В точке x=0x=0 вычислим односторонние производные:y−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣−∣0∣h=−1,y+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣−∣0∣h=1y'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-|0|}{h}=-1,
\qquad
y'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-|0|}{h}=1Односторонние производные существуют, но не равны. Поэтому двусторонний
предел разностного отношения не существует, а значит, y′(0)y'(0) не
существует. Итак,y′={−1,x<0,1,x>0y'=
\begin{cases}
-1, & x<0,\\
1, & x>0
\end{cases}

Построение графика

В одном координатном окне синим показан график
y=∣x∣y=|x|, а розовым --- график производной. У производной точки (0,−1)(0,-1)
и (0,1)(0,1) открыты, поскольку y′(0)y'(0) не существует.график к задаче Демидовича № 977

Ответ

При x≠0x\neq0 имеем y′=sgn⁡xy'=\operatorname{sgn}x; в точке
x=0x=0 производная не существует.

Пункт б)

y=x∣x∣y=x|x|.
Функция определена на R\mathbb R и имеет видy={−x2,x<0,x2,x⩾0y=
\begin{cases}
-x^2, & x<0,\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}При x≠0x\neq0 дифференцируем соответствующую ветвь:y′={−2x,x<0,2x,x>0y'=
\begin{cases}
-2x, & x<0,\\
2x, & x>0
\end{cases}В нуле используем определение производной:y′(0)=lim⁡h→0h∣h∣−0h=lim⁡h→0∣h∣=0y'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h|h|-0}{h}=
\lim_{h\to0}|h|=0Следовательно, единая формула производной на всей прямой равнаy′=2∣x∣y'=2|x|Таким образом, в отличие от ∣x∣|x|, функция x∣x∣x|x| дифференцируема в
нуле: множитель xx устраняет излом в смысле существования производной.

Построение графика

Синим показана нечётная функция y=x∣x∣y=x|x|, состоящая
из ветвей y=−x2y=-x^2 и y=x2y=x^2. Розовым показан график её производной
y′=2∣x∣y'=2|x|. Обе функции определены в начале координат и принимают там
значение 00.график к задаче Демидовича № 977

Ответ

Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причём
y′=2∣x∣y'=2|x|.

Пункт в)

y=ln⁡∣x∣y=\ln|x|.

Область определения функции равнаD=(−∞,0)∪(0,+∞)D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)На положительной полуоси y=ln⁡xy=\ln x, поэтому y′=1xy'=\frac1x. На
отрицательной полуоси x<0x<0, следовательно, ∣x∣=−x|x|=-x и
y=ln⁡(−x)y=\ln(-x). По правилу производной сложной функцииy′=1−x⋅(−1)=1xy'=\frac1{-x}\cdot(-1)=\frac1xТаким образом,y′=1x,x≠0y'=\frac1x,
\qquad x\neq0При x→0−x\to0^- и x→0+x\to0^+ функция ln⁡∣x∣\ln|x| стремится к −∞-\infty,
поэтому x=0x=0 является её вертикальной асимптотой. Для производной
y′=1xy'=\frac1x та же прямая также является вертикальной асимптотой, а
y=0y=0 --- горизонтальной асимптотой при x→±∞x\to\pm\infty.

Построение графика

Синим показаны две ветви y=ln⁡∣x∣y=\ln|x|, а розовым ---
две ветви y′=1xy'=\frac1x. Вертикальная асимптота x=0x=0 совпадает с осью
OyOy, поэтому отдельная пунктирная линия поверх оси не проводится.
Горизонтальная асимптота производной y=0y=0 совпадает с осью OxOx.график к задаче Демидовича № 977

Ответ

При x≠0x\neq0 имеем y′=1xy'=\frac1x; в точке x=0x=0 исходная
функция не определена.
Демидович № 977 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика