Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 977

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 977

Найти производные и построить графики функций и их производных, если:а) y=∣x∣;б) y=x∣x∣;в) y=ln⁡∣x∣\text{а) }y=|x|;
\qquad
\text{б) }y=x|x|;
\qquad
\text{в) }y=\ln|x|
ПостроениеПри x≠0x\neq0 имеем y′=1xy'=\frac1x; в точке x=0x=0 исходная
функция не определена.

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    y=∣x∣y=|x|.
  2. 2
    Функция определена на всей числовой прямой и задаётся формуламиy={−x,x<0,x,x⩾0y=
    \begin{cases}
    -x, & x<0,\\
    x, & x\geqslant0
    \end{cases}    Поэтому при x<0x<0 её производная равна −1-1, а при x>0x>0 равна 11.
    В точке x=0x=0 вычислим односторонние производные:y−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣−∣0∣h=−1,y+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣−∣0∣h=1y'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-|0|}{h}=-1,
    \qquad
    y'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-|0|}{h}=1    Односторонние производные существуют, но не равны. Поэтому двусторонний
    предел разностного отношения не существует, а значит, y′(0)y'(0) не
    существует. Итак,y′={−1,x<0,1,x>0y'=
    \begin{cases}
    -1, & x<0,\\
    1, & x>0
    \end{cases}
  3. 3

    Построение графика

    В одном координатном окне синим показан график
    y=∣x∣y=|x|, а розовым — график производной. У производной точки (0,−1)(0,-1)
    и (0,1)(0,1) открыты, поскольку y′(0)y'(0) не существует.график к задаче Демидовича № 977
  4. 4

    Ответ

    При x≠0x\neq0 имеем y′=sgn⁡xy'=\operatorname{sgn}x; в точке
    x=0x=0 производная не существует.
  5. 5

    Пункт б)

    y=x∣x∣y=x|x|.
  6. 6
    Функция определена на R\mathbb R и имеет видy={−x2,x<0,x2,x⩾0y=
    \begin{cases}
    -x^2, & x<0,\\
    x^2, & x\geqslant0
    \end{cases}    При x≠0x\neq0 дифференцируем соответствующую ветвь:y′={−2x,x<0,2x,x>0y'=
    \begin{cases}
    -2x, & x<0,\\
    2x, & x>0
    \end{cases}    В нуле используем определение производной:y′(0)=lim⁡h→0h∣h∣−0h=lim⁡h→0∣h∣=0y'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h|h|-0}{h}=
    \lim_{h\to0}|h|=0    Следовательно, единая формула производной на всей прямой равнаy′=2∣x∣y'=2|x|Таким образом, в отличие от ∣x∣|x|, функция x∣x∣x|x| дифференцируема в
    нуле: множитель xx устраняет излом в смысле существования производной.
  7. 7

    Построение графика

    Синим показана нечётная функция y=x∣x∣y=x|x|, состоящая
    из ветвей y=−x2y=-x^2 и y=x2y=x^2. Розовым показан график её производной
    y′=2∣x∣y'=2|x|. Обе функции определены в начале координат и принимают там
    значение 00.график к задаче Демидовича № 977
  8. 8

    Ответ

    Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причём
    y′=2∣x∣y'=2|x|.
  9. 9

    Пункт в)

    y=ln⁡∣x∣y=\ln|x|.

    Область определения функции равнаD=(−∞,0)∪(0,+∞)D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)На положительной полуоси y=ln⁡xy=\ln x, поэтому y′=1xy'=\frac1x. На
    отрицательной полуоси x<0x<0, следовательно, ∣x∣=−x|x|=-x и
    y=ln⁡(−x)y=\ln(-x). По правилу производной сложной функцииy′=1−x⋅(−1)=1xy'=\frac1{-x}\cdot(-1)=\frac1xТаким образом,y′=1x,x≠0y'=\frac1x,
    \qquad x\neq0    При x→0−x\to0^- и x→0+x\to0^+ функция ln⁡∣x∣\ln|x| стремится к −∞-\infty,
    поэтому x=0x=0 является её вертикальной асимптотой. Для производной
    y′=1xy'=\frac1x та же прямая также является вертикальной асимптотой, а
    y=0y=0 — горизонтальной асимптотой при x→±∞x\to\pm\infty.
  10. 10

    Построение графика

    Синим показаны две ветви y=ln⁡∣x∣y=\ln|x|, а розовым —
    две ветви y′=1xy'=\frac1x. Вертикальная асимптота x=0x=0 совпадает с осью
    OyOy, поэтому отдельная пунктирная линия поверх оси не проводится.
    Горизонтальная асимптота производной y=0y=0 совпадает с осью OxOx.график к задаче Демидовича № 977

Проверка

Ответ. При x≠0x\neq0 имеем y′=1xy'=\frac1x; в точке x=0x=0 исходная
функция не определена.
Демидович № 977 — решение и ответ