Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1000

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1000

f(x)=∣x∣f(x)=|x|
Ответ:f−′(x)=f+′(x)={−1,x<01,x>0f'_-(x)=f'_+(x)=
\begin{cases}
-1, & x<0\\
1, & x>0
\end{cases}а при x=0x=0f−′(0)=−1f+′(0)=1f'_-(0)=-1
\qquad
f'_+(0)=1

Решение

Идея

При x<0x<0 функция равна −x-x, а при x>0x>0 равна xx. Поэтому
в каждой точке x≠0x\ne0 левая и правая производные совпадают с
обычной производной.
В точке x=0x=0f−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣h=−1f+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣h=1\begin{aligned}
f'_-(0)&=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1\\
f'_+(0)&=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1
\end{aligned}
Демидович № 1000 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика