Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1010

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть

f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leqslant x_0,\\ax+b,&x>x_0\end{cases}

Как следует подобрать коэффициенты

a

b

, чтобы функция

f(x)

была непрерывной и дифференцируемой в точке

x=x_0

Ответ:

a=2x_0 \qquad b=-x_0^2

Решение

Идея

Для непрерывности в точке стыка необходимо равенство значения левой
формулы и правого предела:

x_0^2=ax_0+b

Левая производная равна

f'_-(x_0)=2x_0

а правая производная линейной функции равна

a

. Поэтому условие
дифференцируемости имеет вид

a=2x_0

Подставляя это значение в условие непрерывности, находим

b=x_0^2-2x_0^2=-x_0^2

При найденных коэффициентах значения и производные обеих частей в
точке

x_0

совпадают, поэтому условия не только необходимы, но и
достаточны.