Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 988

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

F'(x)

, если

F(x)= \begin{vmatrix} x-1&1&2\\ -3&x&3\\ -2&-3&x+1 \end{vmatrix}

Ответ:

F'(x)=3x^2+15

Решение

Применим доказанное в предыдущей задаче правило. Производные трёх строк
равны соответственно

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

, поэтому

\begin{aligned} F'(x)&= \begin{vmatrix} 1&0&0\\ -3&x&3\\ -2&-3&x+1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x-1&1&2\\ 0&1&0\\ -2&-3&x+1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x-1&1&2\\ -3&x&3\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\\ &=[x(x+1)-3(-3)]+[(x-1)(x+1)-2(-2)]\\&\quad+[(x-1)x-1(-3)]=\\&=\bigl(x^2+x+9\bigr)+\bigl(x^2+3\bigr) +\bigl(x^2-x+3\bigr)=\\ &=3x^2+15 \end{aligned}