Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1019

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Если функция f(x)f(x) дифференцируема в ограниченном интервале
(a,b)(a,b) и

Задача 1019

lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\inftyто обязательно ли1) lim⁡x→af′(x)=∞;2) lim⁡x→a∣f′(x)∣=+∞?\text{1) }\lim_{x\to a}f'(x)=\infty;
\qquad
\text{2) }\lim_{x\to a}|f'(x)|=+\infty?Рассмотреть пример:f(x)=1x+cos⁡1x,при x→0f(x)=\frac1x+\cos\frac1x,
\qquad\text{при }x\to0
Ответ:Нет, из f(x)→+∞f(x)\to+\infty не следует, что
f′(x)→+∞f'(x)\to+\infty.

Нет, из f(x)→+∞f(x)\to+\infty не следует, что
∣f′(x)∣→+∞|f'(x)|\to+\infty.

Решение

Идея

Рассмотрим указанный пример на интервале (0,b)(0,b). Имеем
  1. 1
    f(x)⩾1x−1f(x)\geqslant\frac1x-1
  2. 2
    Следовательно, f(x)→+∞f(x)\to+\infty при x→0+x\to0^+. В то же времяf′(x)=sin⁡1x−1x2f'(x)=\frac{\sin\dfrac1x-1}{x^2}Возьмём две последовательности:xn=1π2+2πn,yn=13π2+2πnx_n=\frac1{\frac\pi2+2\pi n},
    \qquad
    y_n=\frac1{\frac{3\pi}2+2\pi n}    Обе они стремятся к нулю справа, ноf′(xn)=0,f′(yn)=−2yn2⟶−∞f'(x_n)=0,
    \qquad
    f'(y_n)=-\frac2{y_n^2}\longrightarrow-\infty    Производная не имеет предела +∞+\infty: вдоль
    последовательности xnx_n она равна нулю.
  3. 3
    Для модуля производной получаем∣f′(xn)∣=0,∣f′(yn)∣=2yn2⟶+∞|f'(x_n)|=0,
    \qquad
    |f'(y_n)|=\frac2{y_n^2}\longrightarrow+\infty

Проверка

Следовательно, предел модуля производной также не обязан быть равен
+∞+\infty.
Демидович № 1019 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика