Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1015

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1015

Можно ли утверждать, что произведениеF(x)=f(x)g(x)F(x)=f(x)g(x)не имеет производной в точке x=x0x=x_0, если:

а) функция f(x)f(x) имеет производную в точке x0x_0, а функция g(x)g(x)
не имеет производной в этой точке;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) не имеют производной в точке x0x_0?

Рассмотреть примеры:а) f(x)=x, g(x)=∣x∣;б) f(x)=∣x∣, g(x)=∣x∣\text{а) }f(x)=x,\ g(x)=|x|;
\qquad
\text{б) }f(x)=|x|,\ g(x)=|x|где x0=0x_0=0.
Ответ:а) Если ff дифференцируема, а gg не дифференцируема в
точке x0x_0, произведение fgfg может как иметь, так и не иметь
производную. При f(x0)≠0f(x_0)\ne0 оно обязательно не дифференцируемо.

б) Произведение двух недифференцируемых функций может как
иметь, так и не иметь производную в рассматриваемой точке.

Решение

Пункт а)

В общем случае утверждать, что произведение не имеет
производной, нельзя. В предложенном примереf(x)=xg(x)=∣x∣f(x)=x
\qquad
g(x)=|x|первая функция дифференцируема при x=0x=0, а вторая — нет. ОднакоF(x)=x∣x∣F(x)=x|x|иF′(0)=lim⁡h→0h∣h∣h=lim⁡h→0∣h∣=0F'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h|h|}{h}
=\lim_{h\to0}|h|=0Возможен и противоположный результат. Еслиf(x)≡1g(x)=∣x∣f(x)\equiv1
\qquad
g(x)=|x|то произведение F(x)=∣x∣F(x)=|x| не дифференцируемо в нуле.

Более того, если f(x0)≠0f(x_0)\ne0, то произведение обязательно не
дифференцируемо. Действительно, если бы F=fgF=fg имело производную,
то в некоторой окрестности x0x_0 функция ff не обращалась бы в
нуль иg=Ffg=\frac Ffбыла бы дифференцируема как частное дифференцируемых функций, что
противоречит условию. Значит, сглаживание возможно только в случае
f(x0)=0f(x_0)=0, но и тогда оно не гарантировано.

Например, пусть x0=0x_0=0 иf(x)=x,g(x)={2,x<0,1,x⩾0f(x)=x,
\qquad
g(x)=
\begin{cases}
2,&x<0,\\
1,&x\geqslant0
\end{cases}Здесь f(0)=0f(0)=0, а функция gg не дифференцируема в нуле. Для
произведения F(x)=xg(x)F(x)=xg(x) получаемF−′(0)=2F+′(0)=1F'_-(0)=2
\qquad
F'_+(0)=1поэтому F′(0)F'(0) не существует.

Пункт б)

Если обе функции не дифференцируемы, однозначного вывода
также нет. В предложенном примереf(x)=g(x)=∣x∣f(x)=g(x)=|x|получаемF(x)=∣x∣2=x2F(x)=|x|^2=x^2поэтому F′(0)=0F'(0)=0.

Проверка

Чтобы получить недифференцируемое произведение, возьмёмf(x)=∣x∣g(x)=1+∣x∣f(x)=|x|
\qquad
g(x)=1+|x|Обе функции не имеют производной в нуле, аF(x)=∣x∣+x2F(x)=|x|+x^2тоже не дифференцируема при x=0x=0, поскольку её левая и правая
производные равны соответственно −1-1 и 11.
Демидович № 1015 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика