Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1015

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1015

Можно ли утверждать, что произведение

F(x)=f(x)g(x)

не имеет производной в точке

x=x_0

, если:

а) функция

f(x)

имеет производную в точке

x_0

, а функция

g(x)

не имеет производной в этой точке;

б) обе функции

f(x)

g(x)

не имеют производной в точке

x_0

?

Рассмотреть примеры:

\text{а) }f(x)=x,\ g(x)=|x|;\qquad\text{б) }f(x)=|x|,\ g(x)=|x|

где

x_0=0

Ответ:Если

f

дифференцируема, а

g

не дифференцируема в
точке

x_0

, произведение

fg

может как иметь, так и не иметь
производную. При

f(x_0)\ne0

оно обязательно не дифференцируемо.

Произведение двух недифференцируемых функций может как
иметь, так и не иметь производную в рассматриваемой точке.

Решение

1
Пункт а)
В общем случае утверждать, что произведение не имеет
производной, нельзя. В предложенном примере $f(x)=x \qquad g(x)=|x|$ первая функция дифференцируема при $x=0$ , а вторая — нет. Однако $F(x)=x|x|$ и $F'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h|h|}{h} =\lim_{h\to0}|h|=0$ Возможен и противоположный результат. Если $f(x)\equiv1 \qquad g(x)=|x|$ то произведение $F(x)=|x|$ не дифференцируемо в нуле.

Более того, если $f(x_0)\ne0$ , то произведение обязательно не
дифференцируемо. Действительно, если бы $F=fg$ имело производную,
то в некоторой окрестности $x_0$ функция $f$ не обращалась бы в
нуль и $g=\frac Ff$ была бы дифференцируема как частное дифференцируемых функций, что
противоречит условию. Значит, сглаживание возможно только в случае
$f(x_0)=0$ , но и тогда оно не гарантировано.

Например, пусть $x_0=0$ и $f(x)=x, \qquad g(x)= \begin{cases} 2,&x<0,\\ 1,&x\geqslant0 \end{cases}$ Здесь $f(0)=0$ , а функция $g$ не дифференцируема в нуле. Для
произведения $F(x)=xg(x)$ получаем $F'_-(0)=2 \qquad F'_+(0)=1$ поэтому $F'(0)$ не существует.
2
Пункт б)
Если обе функции не дифференцируемы, однозначного вывода
также нет. В предложенном примере $f(x)=g(x)=|x|$ получаем $F(x)=|x|^2=x^2$ поэтому $F'(0)=0$ .

Проверка

Чтобы получить недифференцируемое произведение, возьмём

f(x)=|x| \qquad g(x)=1+|x|

Обе функции не имеют производной в нуле, а

F(x)=|x|+x^2

тоже не дифференцируема при

x=0

, поскольку её левая и правая
производные равны соответственно

-1

1