Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 701

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 701

y=sgn⁡(sin⁡x)y=\operatorname{sgn}(\sin x)
ВыводФункция непрерывна при x∉{kπ:k∈Z}x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\} и
имеет разрыв первого рода в каждой точке x=kπx=k\pi.

Решение

Идея

По определению знака числаsgn⁡u={−1,u<0,0,u=0,1,u>0\operatorname{sgn}u=
\begin{cases}
-1, & u<0,\\
0, & u=0,\\
1, & u>0
\end{cases}Поэтому для каждого k∈Zk\in\mathbb Zy={0,x=kπ,1,2kπ<x<(2k+1)π,−1,(2k−1)π<x<2kπy=
\begin{cases}
0, & x=k\pi,\\
1, & 2k\pi<x<(2k+1)\pi,\\
-1, & (2k-1)\pi<x<2k\pi
\end{cases}
  1. 1
    На каждом открытом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) функция постоянна,
    следовательно, непрерывна. В точке x=kπx=k\pi синус меняет знак, поэтому
    односторонние пределы равны −1-1 и 11 в некотором порядке:{lim⁡x→(kπ)−y,lim⁡x→(kπ)+y}={−1,1}\left\{
    \lim_{x\to (k\pi)^-}y,
    \lim_{x\to (k\pi)^+}y
    \right\}
    =\{-1,1\}    Двустороннего предела нет, а значение функции в самой точке равно нулю.
    Таким образом, каждое число kπk\pi является точкой разрыва первого рода;
    в стандартном порядке «правый предел минус левый предел» скачок равен
    2(−1)k2(-1)^k, а его модуль равен 22.
  2. 2

    Построение графика

    На промежутках между соседними нулями синуса график
    состоит из горизонтальных отрезков y=1y=1 и y=−1y=-1. В точках x=kπx=k\pi
    оба односторонних предельных положения открыты, а значение (kπ,0)(k\pi,0)
    закрашено.график к задаче Демидовича № 701

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при x∉{kπ:k∈Z}x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\} и
имеет разрыв первого рода в каждой точке x=kπx=k\pi.