Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 703

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 703

y=x[x]

ВыводФункция непрерывна на

(\mathbb R\setminus\mathbb Z)\cup\{0\}

и имеет разрыв первого рода в
каждой ненулевой целой точке.

Решение

Пусть

k\in\mathbb Z

. На промежутке

k\leqslant x<k+1

имеем

[x]=k,\qquady=kx

Поэтому функция непрерывна внутри каждого промежутка

(k,k+1)

Исследуем целую точку

x=k

. Слева от неё целая часть равна

k-1

, а
справа и в самой точке —

k

. Следовательно,

\lim_{x\to k^-}x[x]=k(k-1),\qquady(k)=\lim_{x\to k^+}x[x]=k^2

При

k\neq0

односторонние пределы различны, и в точке

x=k

имеется
разрыв первого рода со скачком

k^2-k(k-1)=k

При

k=0

оба предела и значение функции равны нулю, поэтому функция в
нуле непрерывна.

Построение графика

На каждом промежутке

[k,k+1)

график является частью
прямой

y=kx

. При

k\neq0

открытая точка показывает левый предел, а
закрашенная — значение функции. В начале координат оба положения
совпадают. график к задаче Демидовича № 703