Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 703

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=x[x]

ВыводФункция непрерывна на

(\mathbb R\setminus\mathbb Z)\cup\{0\}

и имеет разрыв первого рода в
каждой ненулевой целой точке.

Решение

Идея

Пусть

k\in\mathbb Z

. На промежутке

k\leqslant x<k+1

имеем

[x]=k,\qquady=kx

Поэтому функция непрерывна внутри каждого промежутка

(k,k+1)

1
Исследуем целую точку $x=k$ . Слева от неё целая часть равна $k-1$ , а
справа и в самой точке — $k$ . Следовательно, $\lim_{x\to k^-}x[x]=k(k-1),\qquady(k)=\lim_{x\to k^+}x[x]=k^2$ При $k\neq0$ односторонние пределы различны, и в точке $x=k$ имеется
разрыв первого рода со скачком $k^2-k(k-1)=k$ При $k=0$ оба предела и значение функции равны нулю, поэтому функция в
нуле непрерывна.
2
Построение графика
На каждом промежутке $[k,k+1)$ график является частью
прямой $y=kx$ . При $k\neq0$ открытая точка показывает левый предел, а
закрашенная — значение функции. В начале координат оба положения
совпадают. $график к задаче Демидовича № 703$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

(\mathbb R\setminus\mathbb Z)\cup\{0\}

и имеет разрыв первого рода в
каждой ненулевой целой точке.