Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 665

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 665

В какой максимальной окрестности точки x0=100x_0=100 ордината графика функции y=xy=\sqrt{x} отличается от ординаты y0=10y_0=10 меньше чем на ε=10−n\varepsilon=10^{-n} (n⩾0)(n\geqslant0)? Определить размеры этой окрестности при n=0,1,2,3n=0,1,2,3.
Ответ:x∈((10−10−n)2,(10+10−n)2)x\in\left((10-10^{-n})^2,(10+10^{-n})^2\right)81<x<12181<x<12198,01<x<102,0198{,}01<x<102{,}0199,8001<x<100,200199{,}8001<x<100{,}200199,980001<x<100,02000199{,}980001<x<100{,}020001

Решение

Идея

Требуется решить неравенство∣x−10∣<ε,ε=10−n|\sqrt{x}-10|<\varepsilon,
\qquad \varepsilon=10^{-n}При n⩾0n\geqslant0 имеем 0<ε⩽10<\varepsilon\leqslant1, поэтому обе части неравенства10−ε<x<10+ε10-\varepsilon<\sqrt{x}<10+\varepsilonположительны. Возводя их в квадрат, получаем максимальный допустимый интервал(10−ε)2<x<(10+ε)2(10-\varepsilon)^2<x<(10+\varepsilon)^2или100(1−10−(n+1))2<x<100(1+10−(n+1))2100\left(1-10^{-(n+1)}\right)^2
<x<
100\left(1+10^{-(n+1)}\right)^2
Для n=0n=0

Для n=1n=1

Для n=2n=2

Проверка

Для n=3n=3
Демидович № 665 — решение и ответ