Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 665

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 665

В какой максимальной окрестности точки x0=100x_0=100 ордината графика функции y=xy=\sqrt{x} отличается от ординаты y0=10y_0=10 меньше чем на ε=10−n\varepsilon=10^{-n} (n⩾0)(n\geqslant0)? Определить размеры этой окрестности при n=0,1,2,3n=0,1,2,3.
Ответ:x∈((10−10−n)2,(10+10−n)2)x\in\left((10-10^{-n})^2,(10+10^{-n})^2\right)81<x<12181<x<12198,01<x<102,0198{,}01<x<102{,}0199,8001<x<100,200199{,}8001<x<100{,}200199,980001<x<100,02000199{,}980001<x<100{,}020001δ=20⋅10−n−10−2n.\delta=20\cdot10^{-n}-10^{-2n}.

Решение

Решим ∣x−10∣<ε|\sqrt x-10|<\varepsilon, где ε=10−n⩽1\varepsilon=10^{-n}\leqslant1. Оно равносильно
10−ε<x<10+ε.10-\varepsilon<\sqrt x<10+\varepsilon.Все части неотрицательны; возведение в квадрат сохраняет порядок:100−20ε+ε2<x<100+20ε+ε2.100-20\varepsilon+\varepsilon^2<x<100+20\varepsilon+\varepsilon^2.Это максимальный допустимый интервал. Его расстояния от 100100 до левого и правого концов равны 20ε−ε220\varepsilon-\varepsilon^2 и 20ε+ε220\varepsilon+\varepsilon^2. Если окрестность требуется симметричной, то наибольший радиусδ=20ε−ε2.\delta=20\varepsilon-\varepsilon^2.Выполним подстановки:n20εε2допустимый интервалδ0201(81,121)19120,01(98,01;102,01)1,9920,20,0001(99,8001;100,2001)0,199930,020,000001(99,980001;100,020001)0,019999\begin{array}{c|c|c|c|c}
n&20\varepsilon&\varepsilon^2&\text{допустимый интервал}&\delta\\\hline
0&20&1&(81,121)&19\\
1&2&0{,}01&(98{,}01;102{,}01)&1{,}99\\
2&0{,}2&0{,}0001&(99{,}8001;100{,}2001)&0{,}1999\\
3&0{,}02&0{,}000001&(99{,}980001;100{,}020001)&0{,}019999
\end{array}Каждый конец интервала получен как 100∓20ε+ε2100\mp20\varepsilon+\varepsilon^2, а радиус — вычитанием двух предыдущих числовых столбцов.
Демидович № 665 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика