Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 682

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 682

f(x)=11+e1x−1,x≠1f(x)=\frac1{1+e^{\frac1{x-1}}},
\qquad x\neq1причём f(1)f(1) — произвольно.
ПостроениеФункция непрерывна при x≠1x\neq1. При x=1x=1 она имеет разрыв
первого рода при любом выборе f(1)f(1); скачок равен −1-1, а его модуль
равен 11.

Построение

При x≠1x\neq1 знаменатель положителен, и функция непрерывна на каждом из
промежутков (−∞,1)(-\infty,1) и (1,+∞)(1,+\infty).
Найдём односторонние пределы. При x→1−x\to1^- имеем
1x−1→−∞\frac1{x-1}\to-\infty, а при x→1+x\to1^+ имеем
1x−1→+∞\frac1{x-1}\to+\infty. Поэтомуlim⁡x→1−f(x)=1,lim⁡x→1+f(x)=0\lim_{x\to1^-}f(x)=1,
\qquad
\lim_{x\to1^+}f(x)=0Односторонние пределы различны, следовательно, в точке x=1x=1 имеется
разрыв первого рода со скачком. Никакой выбор значения f(1)f(1) не устраняет
этот разрыв.
Если скачок определять как разность правого и левого пределов и обозначать
его через Δf\Delta f, тоΔf=lim⁡x→1+f(x)−lim⁡x→1−f(x)=−1,∣Δf∣=1\Delta f=\lim_{x\to1^+}f(x)-\lim_{x\to1^-}f(x)=-1,
\qquad
|\Delta f|=1
На каждом из промежутков (−∞,1)(-\infty,1) и (1,+∞)(1,+\infty) при увеличении xx величина 1/(x−1)1/(x-1) убывает. Тогда e1/(x−1)e^{1/(x-1)} и положительный знаменатель 1+e1/(x−1)1+e^{1/(x-1)} тоже убывают. Обратная величина возрастает, следовательно, каждая ветвь ff строго возрастает.
Кроме того,lim⁡x→±∞f(x)=12\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac12Положим c=f(1)c=f(1). Точка (1,c)(1,c) может находиться на любой высоте.

Построение графика

На рисунке открыты предельные точки (1,1)(1,1) и
(1,0)(1,0). Для примера отмечено одно из возможных положений точки (1,c)(1,c);
при другом выборе f(1)f(1) меняется только эта точка.график к задаче Демидовича № 682