Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 710

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=\operatorname{ctg}\frac\pi x

ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте
области

D

, имеет вертикальные асимптоты

x=\dfrac1k

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

, и наклонную асимптоту

y=\dfrac x\pi

Решение

Котангенс определён, когда его аргумент не является целым кратным

\pi

. Поэтому

D=\mathbb R\setminus\left(\{0\}\cup\left\{\frac1k:k\in\mathbb Z\setminus\{0\}\right\}\right)

На каждой связной компоненте области определения функция является
композицией непрерывных функций и потому непрерывна. В точках

x=\dfrac1k

имеются вертикальные асимптоты, поскольку при переходе через
такую точку аргумент котангенса проходит через

k\pi

, а значения
котангенса неограниченны.

Нули функции находятся из условия

\cos\frac\pi x=0\quad\Longleftrightarrow\quadx=\frac{2}{2k+1},\qquad k\in\mathbb Z

Функция нечётна. Найдём наклонную асимптоту. При малом

u\ne0

\cot u-\frac1u=\frac{u\cos u-\sin u}{u\sin u}=\frac{(u-\sin u)-u(1-\cos u)}{u\sin u}.

Геометрические оценки дают

|u-\sin u|\leqslant|u|^3/2

1-\cos u\leqslant u^2/2

(см. №645); из

\sin u/u\to1

при достаточно малом

|u|

имеем

|\sin u|\geqslant|u|/2

. Поэтому

\left|\cot u-\frac1u\right|\leqslant\frac{|u|^3/2+|u|^3/2}{|u|^2/2}=2|u|\longrightarrow0.

При

u=\pi/x

получаем

y-x/\pi\to0

при

x\to\pm\infty

. Значит, асимптота равна

y=x/\pi

.

В точке

x=0

предела нет. Действительно, две последовательности

x_n=\frac{2}{2n+1},\qquadz_n=\frac{4}{4n+1}

стремятся к нулю справа, но

y(x_n)=0

, тогда как

y(z_n)=1

Раздельно строим ветви между соседними
асимптотами. Пунктиром показываем несколько прямых

x=\dfrac1k

и наклонную
асимптоту

y=\dfrac x\pi

. Внутри центрального пропуска ветви и вертикальные
асимптоты продолжают бесконечно сгущаться к нулю. график к задаче Демидовича № 710