Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 710

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 710

y=ctg⁡πxy=\operatorname{ctg}\frac\pi x
ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте
области DD, имеет вертикальные асимптоты x=1kx=\dfrac1k,
k∈Z∖{0}k\in\mathbb Z\setminus\{0\}, и наклонную асимптоту y=xπy=\dfrac x\pi.

Решение

Идея

Котангенс определён, когда его аргумент не является целым кратным
π\pi. ПоэтомуD=R∖({0}∪{1k:k∈Z∖{0}})D=\mathbb R\setminus
\left(\{0\}\cup
\left\{\frac1k:k\in\mathbb Z\setminus\{0\}\right\}\right)На каждой связной компоненте области определения функция является
композицией непрерывных функций и потому непрерывна. В точках
x=1kx=\dfrac1k имеются вертикальные асимптоты, поскольку при переходе через
такую точку аргумент котангенса проходит через kπk\pi, а значения
котангенса неограниченны.
  1. 1
    Нули функции находятся из условияcos⁡πx=0⟺x=22k+1,k∈Z\cos\frac\pi x=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\frac{2}{2k+1},
    \qquad k\in\mathbb Z    Функция нечётна. Для наклонной асимптоты одной эквивалентности
    ctg⁡u∼1u\operatorname{ctg}u\sim\dfrac1u недостаточно, поэтому используем
    более точное разложениеctg⁡u=1u−u3+o(u),u→0\operatorname{ctg}u=\frac1u-\frac u3+o(u),
    \qquad u\to0    При u=πxu=\dfrac\pi x получаемctg⁡πx=xπ−π3x+o ⁣(1x)\operatorname{ctg}\frac\pi x=
    \frac x\pi-\frac{\pi}{3x}+o\!\left(\frac1x\right)    поэтому разность с xπ\dfrac x\pi стремится к нулю и прямая
    y=xπy=\dfrac x\pi является наклонной асимптотой.

    В точке x=0x=0 предела нет. Действительно, две последовательностиxn=22n+1,zn=44n+1x_n=\frac{2}{2n+1},
    \qquad
    z_n=\frac{4}{4n+1}    стремятся к нулю справа, но y(xn)=0y(x_n)=0, тогда как y(zn)=1y(z_n)=1.
  2. 2

    Построение графика

    Раздельно строим ветви между соседними
    асимптотами. Пунктиром показываем несколько прямых x=1kx=\dfrac1k и наклонную
    асимптоту y=xπy=\dfrac x\pi. Внутри центрального пропуска ветви и вертикальные
    асимптоты продолжают бесконечно сгущаться к нулю.график к задаче Демидовича № 710

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на каждой связной компоненте
области DD, имеет вертикальные асимптоты x=1kx=\dfrac1k,
k∈Z∖{0}k\in\mathbb Z\setminus\{0\}, и наклонную асимптоту y=xπy=\dfrac x\pi.
Демидович № 710 — решение и ответ