Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 679

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 679

f(x)=\sin\frac1x,\qquad x\neq0

причём

f(0)

— произвольно.

ПостроениеФункция непрерывна при

x\neq0

. При

x=0

она разрывна при
любом выборе

f(0)

Построение

Идея

При

x\neq0

функция является композицией непрерывных функций, поэтому
непрерывна на каждом из промежутков

(-\infty,0)

(0,+\infty)

1
Покажем, что при $x\to0$ предела нет. Рассмотрим две последовательности $x_n=\frac{1}{\frac\pi2+2\pi n},\qquady_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}$ Обе последовательности положительны и стремятся к нулю, но $f(x_n)=1,\qquadf(y_n)=-1$ Следовательно, правостороннего предела $\lim_{x\to0^+}f(x)$ не существует.
Поэтому никакой выбор значения $f(0)$ не делает функцию непрерывной в нуле.
В точке $x=0$ имеется разрыв второго рода: при приближении к нулю функция
совершает бесконечно много колебаний между $-1$ и $1$ .
2
Положим $c=f(0)$ . Отдельная точка $(0,c)$ зависит от произвольного выбора
$c$ и не изменяет поведения графика в проколотой окрестности нуля.
3
Построение графика
На рисунке показан характерный конечный фрагмент
колебаний. В оставленном узком промежутке около оси $Oy$ колебания
продолжаются неограниченно часто; вертикального отрезка при $x=0$ у графика
нет. Для примера отмечено одно из возможных положений точки $(0,c)$ . $график к задаче Демидовича № 679$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при

x\neq0

. При

x=0

она разрывна при
любом выборе

f(0)