Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 679

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

f(x)=\sin\frac1x,\qquad x\neq0

причём

f(0)

— произвольно.

ПостроениеФункция непрерывна при

x\neq0

. При

x=0

она разрывна при
любом выборе

f(0)

Построение

При

x\neq0

функция является композицией непрерывных функций, поэтому
непрерывна на каждом из промежутков

(-\infty,0)

(0,+\infty)

Покажем, что при

x\to0

предела нет. Рассмотрим две последовательности

x_n=\frac{1}{\frac\pi2+2\pi n},\qquady_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}

Обе последовательности положительны и стремятся к нулю, но

f(x_n)=1,\qquadf(y_n)=-1

Следовательно, правостороннего предела

\lim_{x\to0^+}f(x)

не существует.
Поэтому никакой выбор значения

f(0)

не делает функцию непрерывной в нуле.
В точке

x=0

имеется разрыв второго рода: при приближении к нулю функция
совершает бесконечно много колебаний между

-1

1

Положим

c=f(0)

. Отдельная точка

(0,c)

зависит от произвольного выбора

c

и не изменяет поведения графика в проколотой окрестности нуля.

На рисунке показан характерный конечный фрагмент
колебаний. В оставленном узком промежутке около оси

Oy

колебания
продолжаются неограниченно часто; вертикального отрезка при

x=0

у графика
нет. Для примера отмечено одно из возможных положений точки

(0,c)