Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 709

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 709

y=\left[\frac1{x^2}\right]\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right)

ВыводФункция непрерывна во всех точках множества

\mathbb R\setminus\left(\{0\}\cup\left\{\pm\frac1{\sqrt n}:n\in\mathbb N\right\}\right)

и имеет разрывы первого рода при

x=\pm\dfrac1{\sqrt n}

Решение

Идея

Область определения задаётся условием

x\ne0

. Множитель

\left[\dfrac1{x^2}\right]

меняется в точках

x=\pm\frac1{\sqrt n},\qquad n\in\mathbb N

Нули второго множителя имеют вид

\sin\frac\pi x=0\quad\Longleftrightarrow\quadx=\frac1m,\qquad m\in\mathbb Z\setminus\{0\}

Эти точки уже входят в первое семейство, поскольку

\dfrac1m=\pm\dfrac1{\sqrt{m^2}}

1
На каждом промежутке $\frac1{\sqrt{n+1}}<x<\frac1{\sqrt n}$ целая часть равна $n$ . Знак синуса здесь тоже постоянен: иначе внутри
промежутка нашлась бы точка $x=\dfrac1m$ , и тогда $\sqrt n<m<\sqrt{n+1},\qquad\text{то есть}\qquadn<m^2<n+1$ что невозможно для целого числа $m^2$ . Поэтому функция постоянна.
Аналогичное утверждение выполняется на симметричном отрицательном
промежутке. В каждой точке $x=\pm\dfrac1{\sqrt n}$ либо
скачком меняется целая часть, либо одновременно обращается в нуль
синус. В обоих случаях хотя бы один односторонний предел отличается
от значения функции или от другого одностороннего предела. Значит,
все эти точки являются точками разрыва первого рода.

При $|x|>1$ целая часть $\left[\dfrac1{x^2}\right]$ равна нулю,
поэтому $y=0$ . Функция нечётна: первый множитель чётный, а второй
нечётный. Поведение около нуля удобно проверить по последовательностям $x_n=\frac1n,\qquadz_n=\frac1{n+\frac12}$ Для первой $y(x_n)=0$ , тогда как $y(z_n)=(-1)^n n(n+1)$ Поэтому функция неограничена в каждой проколотой окрестности нуля,
но одновременно принимает там нулевые значения. Ни конечного, ни
бесконечного предела при $x\to0$ нет.
2
Построение графика
На каждом промежутке между соседними точками
$\dfrac1{\sqrt n}$ строим горизонтальный участок соответствующего уровня.
Показаны уровни для $1\leqslant n\leqslant12$ ; ближе к нулю ступени
продолжают сужаться, а их высоты неограниченно возрастают. $график к задаче Демидовича № 709$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна во всех точках множества

\mathbb R\setminus\left(\{0\}\cup\left\{\pm\frac1{\sqrt n}:n\in\mathbb N\right\}\right)

и имеет разрывы первого рода при

x=\pm\dfrac1{\sqrt n}