Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 709

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 709

y=[1x2]sgn⁡(sin⁡πx)y=\left[\frac1{x^2}\right]
\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right)
ВыводФункция непрерывна во всех точках множестваR∖({0}∪{±1n:n∈N})\mathbb R\setminus
\left(\{0\}\cup
\left\{\pm\frac1{\sqrt n}:n\in\mathbb N\right\}\right)и имеет разрывы первого рода при x=±1nx=\pm\dfrac1{\sqrt n}.

Решение

Область определения задаётся условием x≠0x\ne0. Множитель
[1x2]\left[\dfrac1{x^2}\right] меняется в точкахx=±1n,n∈Nx=\pm\frac1{\sqrt n},
\qquad n\in\mathbb NНули второго множителя имеют видsin⁡πx=0⟺x=1m,m∈Z∖{0}\sin\frac\pi x=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac1m,
\qquad m\in\mathbb Z\setminus\{0\}Эти точки уже входят в первое семейство, поскольку
1m=±1m2\dfrac1m=\pm\dfrac1{\sqrt{m^2}}.
На каждом промежутке1n+1<x<1n\frac1{\sqrt{n+1}}<x<\frac1{\sqrt n}целая часть равна nn. Знак синуса здесь тоже постоянен: иначе внутри
промежутка нашлась бы точка x=1mx=\dfrac1m, и тогдаn<m<n+1,то естьn<m2<n+1\sqrt n<m<\sqrt{n+1},
\qquad\text{то есть}\qquad
n<m^2<n+1что невозможно для целого числа m2m^2. Поэтому функция постоянна.
Аналогичное утверждение выполняется на симметричном отрицательном
промежутке. В каждой точке x=±1nx=\pm\dfrac1{\sqrt n} либо
скачком меняется целая часть, либо одновременно обращается в нуль
синус. В обоих случаях хотя бы один односторонний предел отличается
от значения функции или от другого одностороннего предела. Значит,
все эти точки являются точками разрыва первого рода.

При ∣x∣>1|x|>1 целая часть [1x2]\left[\dfrac1{x^2}\right] равна нулю,
поэтому y=0y=0. Функция нечётна: первый множитель чётный, а второй
нечётный. Поведение около нуля удобно проверить по последовательностямxn=1n,zn=1n+12x_n=\frac1n,
\qquad
z_n=\frac1{n+\frac12}Для первой y(xn)=0y(x_n)=0. Для второй1/zn2=(n+1/2)2=n(n+1)+1/4,[1/zn2]=n(n+1),1/z_n^2=(n+1/2)^2=n(n+1)+1/4,
\qquad [1/z_n^2]=n(n+1),а sin⁡(π/zn)=sin⁡(πn+π/2)=(−1)n\sin(\pi/z_n)=\sin(\pi n+\pi/2)=(-1)^n. Поэтомуy(zn)=(−1)nn(n+1)y(z_n)=(-1)^n n(n+1)Следовательно, функция неограничена в каждой проколотой окрестности нуля,
но одновременно принимает там нулевые значения. Ни конечного, ни
бесконечного предела при x→0x\to0 нет.

Построение графика

На каждом промежутке между соседними точками
1n\dfrac1{\sqrt n} строим горизонтальный участок соответствующего уровня.
Показаны уровни для 1⩽n⩽121\leqslant n\leqslant12; ближе к нулю ступени
продолжают сужаться, а их высоты неограниченно возрастают.график к задаче Демидовича № 709