Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 711

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=\sec^2\frac1x

ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте

D

.
Все точки

x=\dfrac{2}{(2k+1)\pi}

задают вертикальные асимптоты; при

x\to\pm\infty

график имеет горизонтальную асимптоту

y=1

Решение

Функция определена при

x\ne0

\cos\!\left(\dfrac1x\right)\ne0

. Поэтому

D=\mathbb R\setminus\left(\{0\}\cup\left\{\frac{2}{(2k+1)\pi}:k\in\mathbb Z\right\}\right)

На каждой связной компоненте

D

функция непрерывна. В исключённых
точках

x=\frac{2}{(2k+1)\pi}

знаменатель стремится к нулю, а квадрат секанса с обеих сторон
стремится к

+\infty

. Следовательно, все эти прямые являются
вертикальными асимптотами.

Функция чётна и удовлетворяет неравенству

y\geqslant1

. Равенство
достигается, когда

\frac1x=k\pi\quad\Longleftrightarrow\quadx=\frac1{k\pi},\qquad k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

При

x\to\pm\infty

аргумент

\dfrac1x

стремится к нулю, поэтому

\lim_{x\to\pm\infty}\sec^2\frac1x=1

y=1

является горизонтальной асимптотой. Предела при

x\to0

нет.
Например, для последовательностей

x_n=\frac1{n\pi},\qquadz_n=\frac1{n\pi+\frac\pi2+\frac1n}

имеем

y(x_n)=1

, тогда как

y(z_n)=\frac1{\sin^2\!\left(\frac1n\right)}\longrightarrow+\infty

Строим несколько внешних ветвей; пунктиром
показываем вертикальные асимптоты и горизонтальную асимптоту

y=1

.
В центральном пропуске чередование ветвей продолжается бесконечно. график к задаче Демидовича № 711