Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 673

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 673

Пусть для каждого числа δ>0\delta>0 существует число
ε=ε(δ,x0)>0\varepsilon=\varepsilon(\delta,x_0)>0 такое, что если∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonто ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Следует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна
при x=x0x=x_0? Какое свойство функции f(x)f(x) описывается данными
неравенствами?

Рассмотреть пример:f(x)={arctg⁡x,если x рационально,π−arctg⁡x,если x иррациональноf(x)=\begin{cases}
\operatorname{arctg} x, & \text{если }x\text{ рационально},\\
\pi-\operatorname{arctg} x, & \text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}
Ответ:Непрерывность ff не следует. Условие означает, что близость f(x)f(x) к f(x0)f(x_0) гарантирует близость xx к x0x_0. Для обратимой функции это непрерывность обратной функции в f(x0)f(x_0). Приведённая функция удовлетворяет условию во всех точках и всюду разрывна.

Решение

Условие говорит: сколь угодно малую погрешность аргумента можно гарантировать достаточно малой погрешностью значения функции. Если f(x)=f(x0)f(x)=f(x_0), оно даёт ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta для всех δ>0\delta>0, значит, x=x0x=x_0. Если функция обратима, это именно непрерывность обратной функции в точке f(x0)f(x_0).
Непрерывность самой ff из условия не следует. Проверим предложенный пример. Обозначим A=arctan⁡x0A=\arctan x_0. Для любого δ>0\delta>0 все три числаd−=A−arctan⁡(x0−δ),d+=arctan⁡(x0+δ)−A,d0=π/2−Ad_-=A-\arctan(x_0-\delta),\quad
d_+=\arctan(x_0+\delta)-A,\quad
d_0=\pi/2-Aположительны: арктангенс строго возрастает и меньше π/2\pi/2. Возьмём ε=12min⁡(d−,d+,d0)\varepsilon=\tfrac12\min(d_-,d_+,d_0).
Если x0x_0 рационально, то f(x0)=A<π/2f(x_0)=A<\pi/2, а на иррациональной ветви f(x)>π/2f(x)>\pi/2. Расстояние между ними больше d0>εd_0>\varepsilon, поэтому ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon возможно только для рационального xx. Тогдаarctan⁡(x0−δ)<arctan⁡x<arctan⁡(x0+δ),\arctan(x_0-\delta)<\arctan x<\arctan(x_0+\delta),откуда x0−δ<x<x0+δx_0-\delta<x<x_0+\delta.
Если x0x_0 иррационально, то f(x0)=π−A>π/2f(x_0)=\pi-A>\pi/2. Значения рациональной ветви меньше π/2\pi/2 и удалены от f(x0)f(x_0) больше чем на d0d_0. Значит, близкое значение может принадлежать только иррациональной ветви. На ней∣f(x)−f(x0)∣=∣(π−arctan⁡x)−(π−A)∣=∣arctan⁡x−A∣,|f(x)-f(x_0)|=|(\pi-\arctan x)-(\pi-A)|=|\arctan x-A|,и выбранные d−,d+d_-,d_+ вновь дают ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Условие проверено в каждой точке.

Но рациональные и иррациональные аргументы можно выбрать сколь угодно близкими к x0x_0. По непрерывности арктангенса соответствующие значения стремятся к AA и π−A\pi-A. Они различны, поскольку A<π/2A<\pi/2. Поэтому ff разрывна в каждой точке.