Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 673

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 673

Пусть для каждого числа δ>0\delta>0 существует число
ε=ε(δ,x0)>0\varepsilon=\varepsilon(\delta,x_0)>0 такое, что если∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonто ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Следует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна
при x=x0x=x_0? Какое свойство функции f(x)f(x) описывается данными
неравенствами?

Рассмотреть пример:f(x)={arctg⁡x,если x рационально,π−arctg⁡x,если x иррациональноf(x)=\begin{cases}
\operatorname{arctg} x, & \text{если }x\text{ рационально},\\
\pi-\operatorname{arctg} x, & \text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}
Ответ:Если обратная функция существует, условие описывает её
непрерывность в точке f(x0)f(x_0); в общем случае — непрерывность обратного
соответствия. Непрерывности функции ff отсюда не следует. Приведённая
функция удовлетворяет условию и при этом разрывна во всех точках.

Решение

Идея

Условие можно переписать так: как бы мало ни было требуемое отклонение
∣x−x0∣|x-x_0|, существует такой допуск по значениям функции, что близость
f(x)f(x) к f(x0)f(x_0) влечёт близость xx к x0x_0. Если обратная функция
существует, это условие является условием её непрерывности в точке
y0=f(x0)y_0=f(x_0); в общем случае речь идёт о непрерывности обратного
соответствия. В частности, из условия следует, что у значения f(x0)f(x_0)
нет другого прообраза: если f(x)=f(x0)f(x)=f(x_0), то ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta для
каждого δ>0\delta>0, следовательно, x=x0x=x_0.
Однако непрерывность самой функции отсюда не следует. Рассмотрим
предложенный пример. Для рациональных аргументовf(x)=arctg⁡x<π2f(x)=\operatorname{arctg} x<\frac\pi2а для иррациональных аргументовf(x)=π−arctg⁡x>π2f(x)=\pi-\operatorname{arctg} x>\frac\pi2Обе ветви строго монотонны и имеют непрерывные обратные функции на своих
множествах значений. Кроме того, при каждом фиксированном x0x_0 значение
f(x0)f(x_0) отделено положительным расстоянием от множества значений другой
ветви.

Например, если x0x_0 рационально, то для заданного δ>0\delta>0 положительны
все три числаarctg⁡x0−arctg⁡(x0−δ),arctg⁡(x0+δ)−arctg⁡x0,π2−arctg⁡x0\operatorname{arctg} x_0-\operatorname{arctg}(x_0-\delta),
\qquad
\operatorname{arctg}(x_0+\delta)-\operatorname{arctg} x_0,
\qquad
\frac\pi2-\operatorname{arctg} x_0Выберем ε\varepsilon меньше каждого из них. Тогда неравенство
∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon исключает иррациональную ветвь и, благодаря
строгому возрастанию arctg⁡x\operatorname{arctg} x, влечёт ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Для
иррационального x0x_0 рассуждение такое же, но используется строго
убывающая ветвь π−arctg⁡x\pi-\operatorname{arctg} x.

Проверка

В то же время для любой точки x0x_0 существуют последовательности
рациональных rn→x0r_n\to x_0 и иррациональных sn→x0s_n\to x_0, причёмf(rn)→arctg⁡x0f(r_n)\to\operatorname{arctg} x_0иf(sn)→π−arctg⁡x0f(s_n)\to\pi-\operatorname{arctg} x_0Эти пределы различны при любом конечном x0x_0, поэтому функция разрывна
в каждой точке.
Демидович № 673 — решение и ответ