Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 706

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 706

y=[1x]y=\left[\frac1x\right]
ВыводФункция непрерывна во всех точках множестваR∖({0}∪{±1n:n∈N})\mathbb R\setminus
\left(\{0\}\cup
\left\{\pm\frac1n:n\in\mathbb N\right\}\right)и имеет разрывы первого рода в точках x=±1nx=\pm\dfrac1n.

Решение

Идея

Функция определена при x≠0x\ne0. Напомним, что [u][u] — наибольшее
целое число, не превосходящее uu. Целая часть меняется тогда, когда
1x\dfrac1x проходит через целое значение.
  1. 1
    Сначала рассмотрим x>0x>0. Для каждого n∈Nn\in\mathbb N имеемn⩽1x<n+1⟺1n+1<x⩽1nn\leqslant\frac1x<n+1
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    \frac1{n+1}<x\leqslant\frac1n    Поэтому[1x]=nпри1n+1<x⩽1n\left[\frac1x\right]=n
    \quad\text{при}\quad
    \frac1{n+1}<x\leqslant\frac1n    а при x>1x>1 значение функции равно нулю.
  2. 2
    Для отрицательных xx значение [1x]=−n\left[\dfrac1x\right]=-n задаётся
    неравенством−n⩽1x<−n+1-n\leqslant\frac1x<-n+1При n=1n=1 отсюда следует[1x]=−1приx⩽−1\left[\frac1x\right]=-1
    \quad\text{при}\quad x\leqslant-1    Для n⩾2n\geqslant2 после перехода к положительной величине −x-x и
    обращения дробей порядок границ меняется, поэтому[1x]=−nпри−1n−1<x⩽−1n\left[\frac1x\right]=-n
    \quad\text{при}\quad
    -\frac1{n-1}<x\leqslant-\frac1n    На внутренности каждого из этих промежутков функция постоянна и,
    следовательно, непрерывна. В точкахx=±1n,n∈Nx=\pm\frac1n,
    \qquad n\in\mathbb N    соседние постоянные значения различаются на единицу, поэтому там
    имеются разрывы первого рода. Точка x=0x=0 не входит в область
    определения. При приближении к ней справа значения неограниченно
    возрастают, а слева неограниченно убывают:lim⁡x→0+[1x]=+∞,lim⁡x→0−[1x]=−∞\lim_{x\to0^+}\left[\frac1x\right]=+\infty,
    \qquad
    \lim_{x\to0^-}\left[\frac1x\right]=-\infty
  3. 3

    Построение графика

    На положительной полуоси строим ступени высоты
    nn на промежутках (1n+1,1n]\left(\dfrac1{n+1},\dfrac1n\right], а на отрицательной — ступени
    высоты −n-n. Левый конец каждой ограниченной ступени выколот, правый
    закрашен. На рисунке показан конечный фрагмент; при x→0x\to0 ступени
    продолжают сужаться, а их уровни уходят за границы окна.график к задаче Демидовича № 706

Проверка

Ответ. Функция непрерывна во всех точках множестваR∖({0}∪{±1n:n∈N})\mathbb R\setminus
\left(\{0\}\cup
\left\{\pm\frac1n:n\in\mathbb N\right\}\right)и имеет разрывы первого рода в точках x=±1nx=\pm\dfrac1n.