Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 698

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 698

y=ex+1xy=e^{x+\frac1x}
Выводx=0x=0 — точка разрыва второго рода; справа функция имеет
бесконечный предел.

Решение

Функция непрерывна при x≠0x\ne0. В точке x=0x=0lim⁡x→0−(x+1x)=−∞\lim_{x\to0^-}\left(x+\frac1x\right)=-\inftyиlim⁡x→0+(x+1x)=+∞\lim_{x\to0^+}\left(x+\frac1x\right)=+\inftyСледовательно,lim⁡x→0−ex+1x=0,lim⁡x→0+ex+1x=+∞\lim_{x\to0^-}e^{x+\frac1x}=0,
\qquad
\lim_{x\to0^+}e^{x+\frac1x}=+\infty