Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 668

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 668

Сформулировать на языке «ε−δ\varepsilon-\delta» в положительном смысле следующее утверждение: функция f(x)f(x), определенная в точке x0x_0, не является непрерывной в этой точке.
Ответ:∃ ε0>0 ∀ δ>0 ∃ x∈D(f) ⁣:∣x−x0∣<δ,∣f(x)−f(x0)∣⩾ε0\exists\,\varepsilon_0>0\
\forall\,\delta>0\
\exists\,x\in D(f)\colon
|x-x_0|<\delta,
\quad
|f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon_0

Решение

Идея

Функция непрерывна в точке x0x_0, если для каждого ε>0\varepsilon>0 существует δ>0\delta>0, такое, что для всех xx из области определения функции из условия ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta следует ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Отрицание этого утверждения формулируется так: существует положительное число ε0\varepsilon_0, для которого при любом δ>0\delta>0 найдётся точка xx из области определения функции, удовлетворяющая условиям∣x−x0∣<δ,∣f(x)−f(x0)∣⩾ε0|x-x_0|<\delta,
\qquad
|f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon_0
Демидович № 668 — решение и ответ