Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 687

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 687

y=x(1+x)2y=\frac{x}{(1+x)^2}
Выводx=−1x=-1 — точка бесконечного разрыва второго рода;
прямая x=−1x=-1 является вертикальной асимптотой.

Решение

Функция рациональна и непрерывна всюду, где знаменатель не равен нулю.
Единственная возможная точка разрыва — x=−1x=-1. Поскольку знаменатель
является квадратом и числитель стремится к −1-1, получаем
lim⁡x→−1−x(1+x)2=−∞\lim_{x\to-1^-}\frac{x}{(1+x)^2}=-\inftyиlim⁡x→−1+x(1+x)2=−∞\lim_{x\to-1^+}\frac{x}{(1+x)^2}=-\infty