Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 696

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 696

y=arctg⁡1xy=\operatorname{arctg}\frac1x
Выводx=0x=0 — точка разрыва первого рода; скачок, вычисленный
как правый предел минус левый, равен π\pi.

Решение

Идея

Функция непрерывна при x≠0x\ne0. В точке x=0x=0 односторонние пределы
равны
lim⁡x→0−arctg⁡1x=−π2\lim_{x\to0^-}\operatorname{arctg}\frac1x=-\frac\pi2иlim⁡x→0+arctg⁡1x=π2\lim_{x\to0^+}\operatorname{arctg}\frac1x=\frac\pi2Оба предела конечны, но не совпадают.