Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 685

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 685

f(x)=[x]f(x)=[x]
ПостроениеФункция непрерывна при x∉Zx\notin\mathbb Z и имеет скачок в
каждой точке x∈Zx\in\mathbb Z.

Построение

Идея

Здесь [x][x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее xx.
Для каждого k∈Zk\in\mathbb Z[x]=k,k⩽x<k+1[x]=k,
\qquad k\leqslant x<k+1Поэтому функция постоянна и непрерывна внутри каждого промежутка
(k,k+1)(k,k+1). В целой точке x=kx=k имеемlim⁡x→k−[x]=k−1,lim⁡x→k+[x]=[k]=k\lim_{x\to k^-}[x]=k-1,
\qquad
\lim_{x\to k^+}[x]=[k]=kСледовательно, в каждом целом числе функция имеет разрыв первого рода со
скачком, равным 11.
  1. 1

    Построение графика

    Каждая ступень содержит левый конец и не содержит
    правый. На границах координатного окна показаны только обрезанные части
    продолжающихся ступеней без ложных концевых маркеров.график к задаче Демидовича № 685

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при x∉Zx\notin\mathbb Z и имеет скачок в
каждой точке x∈Zx\in\mathbb Z.
Демидович № 685 — решение и ответ