Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 676

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 676

f(x)={x2−4x−2,x≠2A,x=2f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-4}{x-2}, & x\ne2\\
A, & x=2
\end{cases}
ПостроениеФункция непрерывна на R\mathbb R при A=4A=4. При
A≠4A\ne4 она непрерывна на R∖{2}\mathbb R\setminus\{2\} и имеет
устранимый разрыв в точке x=2x=2.

Построение

Идея

При x≠2x\ne2 числитель можно разложить на множители и сократить дробь:f(x)=(x−2)(x+2)x−2==x+2\begin{aligned}
f(x)&=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\\
&=x+2
\end{aligned}Сокращение допустимо только при x≠2x\ne2. Поэтомуlim⁡x→2f(x)=4\lim_{x\to2}f(x)=4Если A=4A=4, то значение функции совпадает с пределом и функция
непрерывна на всей числовой прямой. Если A≠4A\ne4, то в точке x=2x=2
имеется устранимый разрыв: на прямой y=x+2y=x+2 выколота точка (2,4)(2,4),
а значение функции изображается отдельной закрашенной точкой (2,A)(2,A).
  1. 1
    Случай A=4A=4
  2. 2

    Построение графика

    Строим всю прямую y=x+2y=x+2; точка (2,4)(2,4)
    принадлежит графику.график к задаче Демидовича № 676

    Случай A≠4A\ne4
  3. 3

    Построение графика

    Строим прямую y=x+2y=x+2 с выколотой точкой
    (2,4)(2,4) и отдельно отмечаем значение (2,A)(2,A). Положение закрашенной
    точки по вертикали зависит от числа AA; на схеме оно показано
    условно.график к задаче Демидовича № 676

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на R\mathbb R при A=4A=4. При
A≠4A\ne4 она непрерывна на R∖{2}\mathbb R\setminus\{2\} и имеет
устранимый разрыв в точке x=2x=2.