Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 672

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 672

Пусть для каждого числа ε>0\varepsilon>0 существует число
δ=δ(ε,x0)>0\delta=\delta(\varepsilon,x_0)>0 такое, что если∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonто ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Следует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна
при значении x=x0x=x_0? Какое свойство функции описывается этими
неравенствами?
Ответ:Непрерывность не следует. Для каждого ε>0\varepsilon>0
множество всех xx, для которых
∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon, ограничено по расстоянию от x0x_0 и целиком
содержится в некоторой окрестности этой точки.

Решение

Идея

Здесь направление импликации противоположно определению непрерывности.
Условие означает, что для каждого ε>0\varepsilon>0 множествоEε={x:∣f(x)−f(x0)∣<ε}E_\varepsilon=\{x:|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\}содержится в некоторой, не обязательно малой, окрестности точки x0x_0.
То есть прообраз каждой ε\varepsilon-окрестности значения f(x0)f(x_0)
ограничен по расстоянию от x0x_0.
Это свойство не определяет поведения функции при x→x0x\to x_0. Например,
при x0=0x_0=0 зададимf(0)=1,f(x)=xпри x≠0f(0)=1,
\qquad
f(x)=x
\quad\text{при }x\ne0Если ∣f(x)−f(0)∣<ε|f(x)-f(0)|<\varepsilon, то либо x=0x=0, либо∣x−1∣<ε|x-1|<\varepsilonВ обоих случаях∣x∣<1+ε|x|<1+\varepsilonпоэтому условие выполнено с δ=1+ε\delta=1+\varepsilon. Вместе с темlim⁡x→0f(x)=0≠1=f(0)\lim_{x\to0}f(x)=0\ne1=f(0)