Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 697

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 697

y=x arctg⁡1xy=\sqrt{x}\,\operatorname{arctg}\frac1x
Выводx=0x=0 — устранимая граничная точка разрыва. Если
положить y(0)=0y(0)=0, функция станет непрерывной на [0,+∞)[0,+\infty).

Решение

Идея

Из-за множителя x\sqrt{x} и выражения 1/x1/x область определения равна
(0,+∞)(0,+\infty). На этом интервале функция непрерывна. При x→0+x\to0^+
имеем
0<arctg⁡1x<π20<\operatorname{arctg}\frac1x<\frac\pi2поэтому0⩽x arctg⁡1x⩽π2x→00
\leqslant
\sqrt{x}\,\operatorname{arctg}\frac1x
\leqslant
\frac\pi2\sqrt{x}
\to0
Демидович № 697 — решение и ответ